Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи

Розрахунково-пояснювальна записка

До курсової роботи з основ теорії систем та системного аналізу:

Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи

Одеса - 2010

1. Еквівалентні та апроксимаційні перетворення моделі1.1 Нелінійна модель агрегатуНа прикладі розглянемо конкретну технічну систему - змішувальний бак:Рисунок 1. Модель бака.F1,F2,F - витрати рідини на притоці і витоці системи, м3/с;C1,C2,C - концентрація на витоці і притоці системи, кмоль/м3;h - рівень рідини в бакові, м; S - площа бака, м2;V - об'єм рідини в бакові, м3;Запишемо рівняння системи в стаціонарному (встановленому) стані, коли притік дорівнює витоку (рівняння матеріального балансу):F10+F20-F0=0; C1, де індекс 0 означає встановлений стан.Записавши умови балансу кінетичної і потенціальної енергії на виході із бака, деp - густина рідини, кг/м3;w - швидкість витоку, м/с;q - прискорення вільного падіння,q=9.81 м/с2;і припускаючи, щоd - діаметр вихідного трубопроводу, м.Одержимо: чи, відповідно,, деk - коефіцієнт.При зміні витрат у системі відбувається накопичення речовини і перехід до нового встановленого стану. Цей перехідний процес описується диференціальними рівняннямиде dv/dt - приріст об'єму рідини, - приріст маси рідини.Наведемо цю систему у стандартному вигляді:Позначимо:? зміна у часі відхилення витрати від номінального щодо першого каналу ? теж щодо другого каналу ? зміна у часі відхилення об'єму від номінального у бакові;? відхилення концентрації від номінальної; - зміна втрати на виході; - зміна концентрації на виході.1.2 Нелінійна модель в стандартній форміРозглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1=0,03; u2=0.Позначивши , рівняння бака запишемо у вигляді системи: Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяютьсяЗ урахуванням того, що запишемо:, чи підставляючиВиразимо Підставляємо та Таблиця 1. 1.3 Отримання квадратичної моделіРівняння квадратичної моделі має вигляд:Матриці з підстановкою номінального режиму:1.4 Запис білінійної моделі 1.5 Лінеаризована модельЛінеаризуємо залежність , розклавши її на ряд Тейлора. З урахуванням раніше викладеного запишемо:; (т.к ), где ;Припустивши у випадку остатку . Тоді підставивши похідну , отримаємо;В результаті маємо Представивши цю систему в матричній формі:Тоді матриці А і В запишуться в вигляді, Для визначення матриці С необхідно встановити зв'язок між векторами x и y. Оскільки , , то; , то ТодіСистема буде мати виглядКоефіцієнти моделі системи: 1.6 Модель в дискретному часісистема в дискретному часі має вид:dt=14,89 c.Таким чиномЗадавшись , , тодіРезультати подальших ітерацій представлено в таблиці:Таблиця 3. 1.7 Перетворення моделі у форму Ассео 1.8 Обчислення МПФ системи; ; ; n=2; i=1; Таким чином1.9 Структурні схеми системи в початковій формі, формі Ассео, ЗЗП Рисунок 2. Структурна схема системи в початковій формі. Рисунок 3. Структурна схема системи в формі Ассео. Рисунок 4. Структурна схема системи у зовнішньозв'язанному поданні.1.10 Лінеаризована модель в непереривному і дискретному часі з датчиками і ВМa) в непереривному часі Рисунок 5. Структурна схема системи в неперервному часі з датчиками і ВМ. б) в дискретному часіРисунок 6. Структурна схема системи в дискретному часі з датчиками і ВМ. 1.11 Умова правомірності децентралізаціїСистема в формі Ассео: , ,,Спектральна норма матриці , тобто максимальне сингулярне число матриці:, .Спектральна норма матриці F:Тоді:Похибка складає:Можна допустити, що децентралізація є допустимою.2. Аналіз якісних властивостей системиА) Матриця являється гурвіцевою.Б) max s1 (A) =||A||2=0.067<1Відповідно, матриця А є нільпотентною.Перевірити, чи є система (А, В, С) сталою, керованою, спостережною, ідентифікованою з вектором-стовпцем х = (1; 1.25), параметрично інваріантною, мінімально фазовою, розчеплюваною, мінімально.А) сталість:Відповідно система являється сталою.Відповідно система являється сталою.Б) керованість:; По першому входу:Система керована по першому входу.По другому входу:Система керована по другому входу.В) спостережність:Система спостережна.Г) ідентифікованість:Система є ідентифікована.Д) параметрична інваріантність:Система не інваріантна відносно відхилення dA.Система не інваріантна відносно відхилення dB. Система не інваріантна відносно відхилення dС.Е) мінімальнофазовість і астатичність: система являється мінімально фазовою і статичною.Ж) розчеплюваність: det=0.016Система є розчеплюваною.3. Дослідження процесів в системі і аналіз кількісних властивостей системи3.1 Побудова графіків розгінних кривих непереривної системиПобудова графіку розв'язання у (t) для системыи {А, В, С}, якщо и Таблиця 4.

Рисунок 7. Розгінна крива витрати рідини для неперервної системи при збуренні 0 і 0,01.

Рисунок 8. Розгінна крива концентрації для неперервної системи при збуренні 0.

Рисунок 9. Розгінна крива концентрації для неперервної системи при збуренні 0,01.

3.2 Побудова графіків кривих разгону дискретної системиСистема в дискретному часі має вид:dt=14,89 c.Таким чиномЗадавшись , , тодіРезультати подальших ітерацій представлено в таблиці:Таблиця 5.

Рисунок 10. Характеристика витрати рідини в дискретному часі.

Рисунок 11. Характеристика концентрації в дискретному часі.

3.3 Побудова графіків кривих разгону нелінійної системиРозглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1=0,03; u2=0.Позначивши ,рівняння бака запишемо у вигляді системи: Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяютьсяЗ урахуванням того, що запишемо:, чи підставляючиВиразимо Підставляємо та Таблиця 6.

По отриманим даним побудуємо графік:

Рисунок 12. Лінійна та нелінійна характеристика витрати води.

Так як немає аналітичної залежності , використаємо її кус очно-лінійну апроксимацію, представляючи на проміжкові від до функцію как . Тоді,

;

Отримані дані занесемо в таблицю:

Рисунок 13. Лінійна та нелінійна характеристика концентрації.

3.4 Сталий стан системиВичислимо постійне значення системи при умовахІ порівняємо його з результатом розрахунку.4. Ідентифікація багатомірної математичної моделі по даним експеремента4.1 Активна ідентифікаціяДля дискретної форми системи (F, G, C) провести реалізацію системи.Запишемо систему у вигляді: Подавши імпульс по першому входу, розрахуємо: Із власних векторів від () і () побудуємо: При Знайдемо передаточну функцію системи:.4.2 Пасивна ідентифікаціяДля дискретної форми системи (F, G, C) провести пасивну ідентифікацію системи:Таблиця 7.

Використовуючи матриці системи в дискретній формі для заданих значень вектора входу, розрахуємо значення вектора виходу

Результати розрахунку занесемо до таблиці:

Таблиця 8.

Тогда

Следовательно,

5. Конструювання багатомірних регуляторів, оптимізуючи динамічні властивості агрегату5.1 Конструювання П-регулятора, оптимізую чого систему по інтегральному квадратичному критеріюРегулятор стану який оптимізує систему по критерію:Визначається по співвідношенню: P=LR1 (A,B,Q,R); Притом Q=R=IТак як матриця С є інвертованою, для створення регулятора виходу немає Необхідно конструювати спостерігач стану -недосяжний стан вичислюється по формулі . Відповідно регулятор виходу має вид Позначивши через z задане значення виходу у і припускаючи, що , отримаємо5.2 Конструювання компенсаторів завдань і вимірюваних збуреньПрийнявши до уваги, що А=ВЯкщо при компенсації збурень і завдань зчитувати "вартість" управління, записавши критерій в виді,то компенсатори визначаються залежностямиЗначення виходу при дії збурення f в системі без компенсаторів при z=0З оптимальною компенсацієюf5.3 Конструювання регулятора з компенсатором взаємозв'язківСледовательно,Перевіримо чи регулятор дійсно розчіплює систему, тобто матриця передаточних функцій являється діагональною, , де , .Знайдемо1. 2. .5.4 Конструювання аперіодичногоАперіодичний регулятор для дискретної системи може бути отриманий із умови . Запишем 5.5 Конструювання децентралізованого регулятораВикористовуючи форму Ассео, запишем: Відповідно, отримаємо , Розв'яжим рівняння Ляпунова. T=B5.6 Конструювання надійного регулятораЯкщо матриця G моделяє відмови каналів вимірювання, то регулятор знаходиться в виді нехай s=0.041Відповідно, система являеться постійною при любих відхиленнях.5.7 Конструювання блочно-ієрархічного регулятораВикористаємо регулятор стану і перевіримо чи можна створити послідовність регуляторів стану.; ; ; ;

Рисунок 14. Схема блочно-ієрархічного регулятора.

5.8 Конструювання регулятора для білінійної моделі 5.9 Конструювання регулятора для нелінійної системиСконструювати нелінійний регулятор, використовуючи початкову не спрощену модель бака., Розрахункове співвідношення для регулятора - , де При s=4, W=1 запишемоПідставивши запишемо5.10 Конструювання програмного регулятораВикористовуючи лінеаризовану модель в дискретному часі, запишемо програму переходу системи із стану в стан .При ; Отримаємо6. Аналіз властивостей зконструйованої системи з оптимальним П-регулятором6.1 Побудова процесу в системі з П-регуляторомСтале значення виходу при дії збурення f у системі без компенсаторів при z=0З оптимальною компенсацієюfРисунок 15. Графіки перехідних процесів та кривих розгону по першому та другому виходах з оптимальним П-регулятором з компенсатором і без.6.2 Обчислення критерію оптимальності в системіВеличина критерію оптимальності обчислюється за залежністю. Для обчислення величини критерію з довільним регулятором слід використовувати формулу, де .розв'язавши рівняння Ляпунова отримаєморозв'язавши рівняння Ляпунова отримаємоПри 10% та 5%,,, Розв'яжемо для всіх матриць при нових значеннях, , , , При 10% та 5%, ,, .6.3 Обчислити чуйність системи6.4 Проаналізувати робастність системи6.5 Розв'язати зворотну задачу конструюванняЗнайти за яким критерієм є оптимальний регулятор з компенсаторів взаємозв'язків.де W - довільна матриця яка задовольняє умові S>0розв'язавши отримаємоВисновокТаким чином, в ході виконання курсової роботи на прикладі моделі змішувального бака була розгляне на технологічна послідовність конструювання систем: побудова та перетворення моделей системи, аналіз властивостей початкової системи, конструювання регуляторів, аналіз властивостей і порівняння сконструйованих систем. Також при виконанні були отримані ряд кривих розгону та перехідних процесів для моделі бака, були побудовані структурні схеми моделі в початковій формі, Ассео, зовнішньо зв'язаній формі. Отримали навики конструювання систем з використанням регулятора з компенсатором взаємозв”язків, аперіодичного, децентралізованого, надійного, блочно-ієерархічного регуляторів, програмного регулятора, регулятора для нелінійної моделі, регулятора для білінійної моделі.Література

1. Методические указания к практическим занятиям по курсу "Основы системного анализа и теория систем", А.А. Стопакевич

2. "Сложные системы: анализ, синтез, управление", А.А. Стопакевич

ДодатокРозв'язання рівняння РікартіРозв'язання рівняння Рікарті визначення матриці Р.Сформуємо матрицю Для обчислення власних значень розкриємо визначник .Розв'язання рівняння Ляпунова .Обчислення матричної експоненти,.Фробеніусові матриціВандермордова матриця