Системы счисления и представления типов данных

Системы счисления и представления типов данных

Содержание

• 1. Позиционные системы счисления 3
• 2. Переходы между основными системами счисления 5
• 3. Основные 16_ичные константы 5
• 4. Реализация целочисленных операций 7
• 5. Представление отрицательных чисел 8
• 6. Целочисленные типы данных в языке Си 9
• 7. Вещественные типы данных в языке Си 10
• 8. Кодирование символов 12
• 9. Схемы алгоритмов 14

1. Позиционные системы счисленияПозиционные системы счисления (СС) - это системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в записи числа. Например:1) шестидесятиричная (Древний Вавилон) - первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1 мин = 60 с, 1 ч = 60 мин);2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. Число12 - «дюжина»: в сутках две дюжины часов. Счет не по пальцам. а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава - всего 12;3) в настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.Система счисления - способ записи (изображения) чисел. Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами. Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например: Алфавиты некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Двоичная система: {0, 1}Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления.Десятичная система: 100, 101, 102, 103, 104,…, 10n,…Двоичная система: 20, 21, 22, 23, 24,…, 2n,…Восьмеричная система: 80, 81, 82, 83, 84,…, 8n,…

Свернутой формой записи числа называется запись в виде

A=an-1an-2…a1a0.a-1…a-m

Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

Пример. Десятичное число 4718,63, двоичное число 1001,1, восьмеричное число 7764,1, шестнадцатеричное число 3АF16

Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля. В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем десятичном виде:

А = ± (an-1qn-1+an-2qn-2+ … +a0q0+a-1q-1+a-2q-2+ … +a-mq-m)

Здесь А - само число, q - основание системы счисления, ai - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n - число целых разрядов числа, m - число дробных разрядов числа. Развернутая форма записи числа - сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления.

Пример. Десятичное число А10 = 4718,63 в развернутой форме запишется так:

А10 = 4·103 + 7·102 + 1·101 + 8·100 + 6·10-1 + 3·10-2

Двоичное число А2 = 1001,1 = 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 + 1·2-1

Восьмеричное число А8 = 7764,1 = 7·83 + 7·82 + 6·81 + 4·80 + 1·8-1

Шестнадцатеричное число А16 = 3АF16 = 3·162 + 10·161 + 15·160

2. Переходы между основными системами счисленияОсновные СС имеют основания 2, 8,10, 16. Системы с основаниями 2, 8 и 16 являются родственными, так как их основания являются степенями двойки. Переходы между ними реализуются легко.2 8. Двоичное число разбивается справа налево на триады (тройки цифр) и каждая триада заменяется на 8_ичную цифру.2 16. Двоичное число разбивается справа налево на тетрады (четверки цифр) и каждая тетрада заменяется на 16_ичную цифру.8 16 и 16 8. Преобразование идет через двоичную СС.Любое основание 10. Осуществляется по определению позиционной системы счисления.10 16. Имеется два способа преобразования.1. Метод деления «уголком» строит результирующее 16_ичное число от младших цифр к старшим. Для этого запоминаются целые остатки от деления исходного числа на 16, пока частное не станет равным 0. Записывая эти остатки в обратном порядке, получим ответ.2. Метод «вычерпывания» состоит из нескольких итераций. На каждой итерации исходное число х оценивается снизу максимальной степенью m нового основания p = 16: х ? 16m. Затем определяем число r вхождений степени 16m в число х. Наконец, 16_ичную цифру r записываем в результирующее число в разряд с номером m. Число x заменяем на меньшее число х - r · 16m. Если новое число х = 0, то алгоритм заканчивается, и остальные разряды результата заполняем нулями. В противном случае, переходим к следующей итерации.3. Основные 16_ичные константыБольшинство числовых констант, которые встречаются в компьютерной технике, являются круглыми шестнадцатеричными числами. Эти числа обычно записывают в десятично-буквенном виде, имеющем формат ab, где а - десятичное число, b - буква.Таблица 1. Шестнадцатеричные константыСледующая таблица содержит популярные степени числа 2, а также их русские и английские названия.Таблица 2. Степени числа 2Последние строки кратных единиц были дополнены ГОСТом в 1991. Вычисления с числами, представленными в десятично-буквенном виде, можно осуществлять без перехода в десятичную СС. Например, 32 Т / 256 К = 245 / 218 = 227 = 128 М.Таблицы 1 и 2 позволяют переводить 16_ичные числа в десятично-буквенную запись без применения вычислительных средств. Например,
0х7D8A30 = 7·0x100000 + 13·0x10000 + 8·0x1000 + 10·0x100 + 3·16 = 7 M + 13·64 K + 8·4 K + 10·(K/4) + 48 = 7 M + 866,5 K + 48.Отметим, что для десятично-буквенных чисел не выполняется дистрибутивный закон, то есть 1 М + 100 К не равен 1,1 М.4. Реализация целочисленных операцийПредставление чисел в компьютере осуществляется в двоичной СС. Однако для краткости записи чисел используют родственную 16_ичную СС.Определение 1. Логическим адресом ячейки памяти в ОЗУ с 20_битной адресной шиной называется запись xxxx:yyyy, где хххх - шестнадцатеричный сегментный адрес, yyyy - шестнадцатеричное смещение. Физическим адресом этой ячейки называется число xxxx0 + yyyy.Пример. Область кода программы расположена с ячейки 55А3:3000 по ячейку 9EEF:A0FF. Оценить размер области в килобайтах.Решение. Физический адрес начала области 0х55А30 + 0х3000 = 0х58A30, конца области 0х9EEF0 + 0хA0FF = 0хA8FEF. Размер этой области равен 0хA8FEF - 0х58A30 + 1 = 0x505C0 = 5·64 К + 0·4 К + 10· (К/4) + 12·16= (320 + 2,5) К + 192 = 322,5 К + 192.Определение 2. Нормализованным адресом ячейки памяти ОЗУ с 20_битной адресной шиной называется запись xxxx:yyyy, где хххх - шестнадцатеричное число, yyyy - шестнадцатеричное смещение, не превосходящее размера параграфа, то есть из диапазона от 0 до 15.Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления с 16_ичными числами осуществляются аналогично 10_ичным числам, то есть «столбиком». Однако, имеются некоторые отличия.Пример. Критерии деления 16_ичного целого числа на 3 и на 5 выглядят одинаково: сумма цифр должна делится, соответственно, на 3 и на 5.Пример. Оказывается в 16_ичной СС 0x112 = 0x121, 0x122 = 0x144, 0x132 = 0x169.

Пример. Десятичное число 0,1 нельзя представить в виде конечной 2_ичной дроби A = 0, a-1…a-m = a-12-1 + a-22-2 +… + a-m2-m. В противном случае, умножая равенство 0,1 = А на 10·2m, получим 2m = 10·(a-12m-1 +
a-22m-2 +… + a-m20). Последнее равенство невозможно, так как правая часть делится на 5, а левая - нет.

5. Представление отрицательных чиселЦелые отрицательные числа хранятся в компьютере в двоичном «дополнительном» коде: положительное двоичное число необходимо побитово инвертировать и прибавить единицу.Этот код основан на простом соображении, что x + (-x) = 0 при сложении двоичных чисел столбиком. При этом единица, которая переходит из старшего 7_го бита в несуществующий 8_ой бит, пропадает. Например, для однобайтного числа x = 5 имеем x = 5 = 0000 0101+- x = -5 = **** ****____________________0 = 0 = 0000 0000Теперь конструируем число -5 = 1111 1011.6. Целочисленные типы данных в языке СиТаблица 3. Целочисленные типы данныхПо умолчанию целые десятичные константы имеют тип int. Поэтому все целые числа должны содержаться в диапазоне -32758… 32757. Например, запись x = 100000 будет ошибочна независимо от типа переменной x. Для обозначения целой константы типа long используется суффикс l. Тогда инициализация long x = 100000l будет корректна.Компилятор не проверяет выход результата целочисленного выражения за диапазон типа. Запись long x = 20000 + 20000 будет ошибочна, так как 40000 не содержится в диапазоне типа int. Это будет «хорошо скрытая» ошибка. Реально x будет содержать значение
40000 - 64 К. Запись long x = 20000l + 20000 будет уже корректна, так как результат будет иметь уже тип long.Построим область корректного сложения для типа char.char x, y, z;x = y = 100;z = x + y;Нарисуем в системе координат (x, y) множество, для которого z будет содержать корректный ответ. Имеем системурешением которой является шестиугольник.Рис. 1. Диапазон корректного сложения7. Вещественные типы данных в языке СиВещественные типы всегда имеют знак.Определение 3. Нормализованной формой ненулевого числа x называется запись x = M10p, где M - мантисса, 0,1 M < 1, p - порядок числа х.Нормализованная форма числа единственна.Таблица 4. Вещественные типы данныхОпределение 4. Машинным нулем для данного вещественного типа называется минимальное положительное число того же типаm0 = min {x: x > 0}.Определение 5. Машинным эпсилон для данного вещественного типа называется минимальное число того же типа, для которого 1 + x > 1m = min {x: 1 + x > 1}.Определение 6. Машинной бесконечностью для данного вещественного типа называется максимальное число того же типаm = max{x}.По диапазону типа можно определить m0, m. Машинный эпсилон определяется размером мантиссы. Так, например, для типа float имеемm0 = 3,410-38, m = 3,41038, m 10-8.Определение 7. «Правым соседом» числа x данного вещественного типа назовем минимальное число y того же типа, для которого x < y«Правый сосед» х = min {y: x < y}.«Правый сосед» числа х больше самого х на величину равнуюm 10порядок числа х.Приближенно можно считать, что «правый сосед» числа х х + m x.Например, для типа float «правый сосед» числа 1010 1010 + 10-8 1010 = 1010 + 100.Таким образом, вещественные числа данного типа расположены на числовой прямой неравномерно, чем больше числа, тем больше расстояние между соседними числами. Этот факт следует учитывать при организации циклов: шаг цикла должен быть больше, чем расстояние между соседними числами.Параметры типа в таблице 4 связаны между собой.Задача. Вещественный тип doom занимает 15 байт, под порядок отведено 30 бит. Определить остальные параметры этого типа.Решение. Порядок занимает 30 бит, поэтому минимальное двоичное значение порядка равно -229. Для перевода этого числа к десятичному основанию решим показательное уравнение -229 = -10х. Логарифмируя по основанию 10, получаем х = 29 lg2 29 0,3010 = 8,729. Таким образом, m0 равен 0,5 10-161290865,49 1,54 10-161290865.Мантисса в двоичной системе счисления занимает 90 бит, из которых один бит определяет знак мантиссы. Так как первые знаки двоичной мантиссы равны 0,1 и всегда одинаковы, то под них память не отводится. Поэтому остальные 89 бит мантиссы занимают разряды с номерами от -2 до -90. «Правый сосед» единицы равен 0,100…0012 21, где последняя единица стоит в -90_ом разряде. Тогдаm = 2-89 = 10-89 lg(2) = 10-26,79 = 6,17 10-268. Кодирование символовДля кодирования символов с помощью одного байта используется ASCII_таблица (American Standard Code for Information Interchage)В ASCII_таблице содержатся различные символы и соответствующие им коды. Например, символу `0' соответствует код 0x30 = 48. Символы и строки хранятся в памяти в виде соответствующих кодов из ASCII_таблицы. Например, строка «123» в памяти будет храниться в виде последовательности байт 0х31 0х32 0х33 0х00. Иногда строки, у которых 0 является признаком конца, называют asciiz_строками.Таблица 5. ASCII - таблица символовСимволу `b' соответствует «ASCII_код» 0x62. В десятичной системе это будет 98, а в двоичной - 01100010. Код символа `b' вы можете посмотреть из ASCII_таблицы. Таблицы символов для разных шрифтов можно найти с помощью программы Таблица Символов: Пуск - Стандартные - Системные утилиты - Таблица Символов).В русской кодировочной странице 866 буква Ё имеет код 0xF0, а буква ё - код 0хF1.В языке Си символьные константы обозначаются `\xxx', где ххх - код этого символа, записанный в восьмеричной СС. Иначе говоря,
`\xxx' - это код символа, у которого код равен ххх.Примеры. 1. Количество букв в английском алфавите равно
`Z' - `A' + 1.2. Количество букв в русском алфавите равно `Я' - `А' + 2.9. Схемы алгоритмовДля облегчения вычерчивания и нахождения на схеме символов рекомендуется поле листа разбивать на зоны. Размеры зон устанавливают с учетом минимальных размеров символов, изображенных на данном листе. Допускается один символ размещать в двух и более зонах, если размер символа превышает размер зоны. Координаты зоны проставляют: по горизонтали - арабскими цифрами слева направо в верхней части листа; по вертикали - прописными буквами латинского алфавита сверху вниз в левой части листа. Координаты зон в виде сочетания букв и цифр присваивают символам, вписанным в поля этих зон, например: A1, A2, A3, B1, B2, B3 и т.д. Если поле листа не разбито на зоны, символам присваивают порядковые номера.Линии потока должны быть параллельны линиям внешней рамки схемы. Направления линий потока сверху вниз и слева направо принимают за основные и, если линии потока не имеют изломов, стрелками можно не обозначать. В остальных случаях направление линии потока обозначать стрелкой обязательно.Сокращения слов и аббревиатуры, кроме стандартных и общепринятых, должны быть расшифрованы в нижней части поля схемы или в документе, к которому эта схема относится. Записи внутри символа должны быть представлены так, чтобы их можно было читать слева направо и сверху вниз, независимо от направления потока. (вид а должен быть прочитан как вид б).Рис. 2. Эквивалентные фрагменты схемы алгоритмаТаблица 6. СоединительТаблица 7. Межстраничный соединительТаблица 8. Линии потокаТаблица 9. Возможные варианты отображения решенияТаблица 10Символы в схемах алгоритмовРазмер a должен выбираться из ряда 10, 15, 20 мм. Допускается увеличивать размер a на число, кратное 5. Размер b равен 1,5  a. При ручном выполнении схем алгоритмов и программ допускается устанавливать b равным 2  a.