Программирование математических объектов — страница 2

Обновлено 2026-10-07

p align="left">[ x ]

[ y ]

[ z ]

используются вектора вида

[ x ]

[ y ]

[ z ]

[ 1 ]

а вместо произвольных матриц 3x3 используются матрицы 4x4 такого вида:

[ a b c d ]

[ e f g h ]

[ i j k l ]

[ 0 0 0 1 ]

Видно, что если d = h = l = 0, то в результате применения всех операций получается то же самое, что и для матриц 3x3.

Матрица параллельного переноса теперь определяется как

[ 1 0 0 dx ]

[ 0 1 0 dy ]

[ 0 0 1 dz ]

[ 0 0 0 1 ]

Матрицу масштабирования можно определить и для матриц 3x3, и для матриц 4x4:

[ kx 0 0 ] [ kx 0 0 0 ]

[ 0 ky 0 ] или [ 0 ky 0 0 ]

[ 0 0 kz ] [ 0 0 kz 0 ]

[ 0 0 0 1 ]

где kx, ky, kz - коэффициенты масштабирования по соответствующим осям.

Таким образом, получаем следующее. Любое нужное нам преобразование пространства можно задать матрицей 4x4 определенной структуры, разной для разных преобразований. Результат последовательного выполнений нескольких преобразований совпадает с результатом одного преобразования T, которое также задается матрицей 4x4, вычисляемой как произведение матриц всех этих преобразований. Важен порядок умножения, так как A*B B*A. Результат применения преобразования T к вектору [ x y z ] считается как результат умножения матрицы T на вектор [ x y z 1 ].

Докажем на примере, что A*B B*A. Пусть A - матрица переноса, B - поворота. Если сначала перенести объект, а потом повернем относительно центра координат (это будет B*A), то результат не будет соответствовать результату, при котором сначала объект поворачивают, а затем переносят (A*B).

5.2 Создание одноцветного треугольника

Изображение треугольника на экране - набор горизонтальных отрезков, причем из-за того, что треугольник - фигура выпуклая, каждой строке экрана соответствует не более одного отрезка. Поэтому достаточно обойти все строки экрана, с которыми пересекается треугольник, (то есть, от минимального до максимального значения (y) для вершин треугольника), и нарисовать соответствующие горизонтальные отрезки.

Нужно отсортировать вершины так, чтобы вершина A была верхней, C - нижней, тогда min_y = A.y, max_y = C.y, и надо обойти все линии от min_y до max_y. Рассмотрим какую-то линию sy, A.y <= sy <= C.y. Если sy < B.y, то она пересекает стороны AB и AC; если sy >= B.y - то стороны BC и AC. Известны координаты всех вершин, поэтому можно написать уравнения сторон и найти пересечение нужной стороны с прямой y = sy. Получим два конца отрезка. Так как не известно, какой из них левый, а какой правый, нужно сравним их координаты по x и обменяем значения, если нужно. Рисуя этот отрезок, повторяя процедуру для каждой строки - получаем треугольник.

Рассматривая более подробно пересечения прямой

y = sy (текущей строки) и стороны треугольника, например AB, Получим уравнение прямой AB в форме x = k*y+b:

x = A.x+(y-A.y)*(B.x-A.x)/(B.y-A.y)

Теперь надо подставить известное для текущей прямой значение y = sy:

x = A.x+(sy-A.y)*(B.x-A.x)/(B.y-A.y)

Для других сторон пересечение ищется совершенно точно так же. Например:

// ...

// здесь сортируем вершины (A,B,C)

// ...

for sy = A.y to C.y begin

x1 = A.x + (sy - A.y) * (C.x - A.x) / (C.y - A.y);

if (sy < B.y)Then

x2 = A.x + (sy - A.y) * (B.x - A.x) / (B.y - A.y);

else

x2 = B.x + (sy - B.y) * (C.x - B.x) / (C.y - B.y);

if (x1 > x2) Then

begin

tmp = x1; x1 = x2; x2 = tmp;

end;

drawHorizontalLine(sy, x1, x2);

end;

Необходимо защититься от случая, когда B.y = C.y - в этом (и только этом, потому как если C.y = A.y, то треугольник пустой и рисовать его не нужно, или можно рисовать горизонтальную линию; а если B.y = A.y, то sy >= A.y и до деления на B.y - A.y не дойдет) случае произойдет попытка деления на ноль.

// ...

// здесь сортируем вершины (A,B,C)

// ...

for sy = A.y to C.y begin

x1 = A.x + (sy - A.y) * (C.x - A.x) / (C.y - A.y);

if (sy < B.y)

x2 = A.x + (sy - A.y) * (B.x - A.x) / (B.y - A.y);

else begin

if (C.y == B.y)

x2 = B.x;

else

x2 = B.x + (sy - B.y) * (C.x - B.x) / (C.y - B.y);

end;

if (x1 > x2)Then

begin

tmp = x1; x1 = x2; x2 = tmp;

drawHorizontalLine(sy, x1, x2);

end;

// ...

Здесь drawHorizontalLine(sy, x1, x2) - горизонтальная линия. Её создание не представляет сложности и код будетвыглядеть так.

//...

For i:=x1 to x2 do

PutPixel(i,sy,Color);

//...

6. Программа

unit graph3;

interface

uses Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

DXClass, DXDraws, StdCtrls,graph, Menus,graph3D,figures, Buttons;

const Mode:Word=0;

type TLab = class(TForm)

Vid: TDXDraw;

Timer: TDXTimer;

Enter: TButton;

Menu: TMainMenu;

N1: TMenuItem;

N2: TMenuItem;

N3: TMenuItem;

N4: TMenuItem;

N5: TMenuItem;

N6: TMenuItem;

N7: TMenuItem;

N8: TMenuItem;

N9: TMenuItem;

OpenDialog: TOpenDialog;

SaveDialog: TSaveDialog;

N10: TMenuItem;

Space: TButton;

Box1: TComboBox;

Label1: TLabel;

OK: TButton;

Cancel: TButton;

Label6: TLabel;

BCube: TBitBtn;

BSide: TBitBtn;

Box6: TComboBox;

Label7: TLabel;

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure TimerTimer(Sender: TObject; LagCount: Integer);

procedure VidMouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

procedure EnterClick(Sender: TObject);

procedure N3Click(Sender: TObject);

procedure N4Click(Sender: TObject);

procedure N2Click(Sender: TObject);

procedure N9Click(Sender: TObject);

procedure N10Click(Sender: TObject);

procedure SpaceClick(Sender: TObject);

procedure FormKeyDown(Sender: TObject; var Key: Word;

Shift: TShiftState);

procedure FormKeyUp(Sender: TObject; var Key: Word;

Shift: TShiftState);

procedure CancelClick(Sender: TObject);

procedure OKClick(Sender: TObject);

procedure N8Click(Sender: TObject);

procedure BCubeClick(Sender: TObject);

procedure BSideClick(Sender: TObject);

procedure N6Click(Sender: TObject);

private

public

end;

var Lab: TLab;

implementation

{$R *.DFM}

const ScreenX:Word=640;

ScreenY:Word=480;

x1:integer=0;

y1:integer=0;

White=$FFFFFF;

View:Boolean=False;

Figure:Word=1;

Accept:Boolean=True;

sv:Word=0;

var c:char;S,SS,TMP:PPl;t:PTexture;

CS,CO,CC,CSc,CL:Word;Rot:TRot;

x0,y0,x2,y2:integer;r:Single;

Blue,Red,Yelow,M,N,SC:Word;

Keys:array[1..255]of Boolean;

Input:array[1..12]of procedure (x,y:integer;var E:Boolean);

Bol:Boolean;Option:array[1..5] of String;

o:array[1..MaxSide]of TPoint;

w:array[1..2]of TPoint;tmp_o:TPoint;

cx,cy:Word;oc:TPoint;ClicCub:array[0..MaxSide]of Boolean;

procedure LoadObject(Name:String;var Obj:PObj);

var f1:file of TPoint; a:TSides;

f2:file of Word;

S,Tmp:TPoint;i,j:word;Name2:String;

B:Boolean;

begin

For i:=1 to Length (Name)-4 do begin

Name2:=Name2+Name[i];

end;

Name:=Name2;

Assign(f2,Name+'.res');

Reset(f2);

Read(f2,Obj^.Count);

close(f2);

Assign(f1,Name+'.dat');

Reset(f1);

Read(f1,Obj^.o);

For i:=1 to Obj^.Count do

New(Obj^.Side[i],Create(Obj^.o.x,Obj^.o.y,Obj^.o.z,0,0,0,a));

For i:=1 to Obj^.Count do begin

inc(CS);

if(i mod 2<>0)Then

T:=ColorText(RGB(100+Random(155),100+Random(155),100+Random(155)),GMT)

else T:=T;

Obj^.Side[i]^.Texture:=T;

Obj^.Side[i]^.Mode:=Mode;

Obj^.Side[i]^.Alpha:=0;

Read(f1,S);

For j:=1 to 3 do

begin

Read(f1,S);

Obj^.Side[i]^.S[j]:=S;

SS^[i,j]:=S;

end;

close(f1);

end;

procedure SaveObject(Name:String;var Obj:PObj);

var f1:file of TPoint;

f2:file of Word;B:Boolean;

S:TPoint;i,j:word;Name2:String;

begin

B:=False;

For i:=1 to Length(Name) do

if(Name[i]='.')Then B:=True;

if(B=True)Then begin

For i:=1 to Length(Name)-4 do begin

Name2:=Name2+Name[i];

end;

Name:=Name2;

end;

Assign(f2,Name+'.res');

Rewrite(f2);

Reset(f2);

Write(f2,Obj^.Count);

close(f2);

Assign(f1,Name+'.dat');

Rewrite(f1);

Reset(f1);

Write(f1,Obj^.o);

For i:=1 to Obj^.Count do begin

Obj^.Side[i]^.o:=tmp_o;

S:=Obj^.Side[i]^.o;

Write(f1,S);

For j:=1 to 3 do

begin

S:=Obj^.Side[i]^.S[j];

Write(f1,S);

end;

close(f1);

end;

procedure CreateTMP(var Obj:PObj);

var i,j,k:Word;

begin

Obj^.o.x:=0;Obj^.o.y:=0;Obj^.o.z:=100;

For i:=1 to Obj^.Count do

begin

tmp_o:=Obj^.Side[i]^.o;

Obj^.Side[i]^.o:=o[i];

For j:=1 to 3 do

Obj^.Side[i]^.S[j]:=S^[i,j];

end;

procedure ShowSide;

var i,j,k,cx,cy:Word;tmp:TPoint;

begin

Lab.Vid.Surface.Fill(0);

myForm(GetMaxX,GetMaxY);

For i:=1 to CS do begin

Line(Trunc(SS^[i,1].x),Trunc(SS^[i,1].y),Trunc(SS^[i,2].x),Trunc(SS^[i,2].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,2].x),Trunc(SS^[i,2].y),Trunc(SS^[i,3].x),Trunc(SS^[i,3].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,3].x),Trunc(SS^[i,3].y),Trunc(SS^[i,1].x),Trunc(SS^[i,1].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,1].x),Trunc(SS^[i,1].z),Trunc(SS^[i,2].x),Trunc(SS^[i,2].z),White);

Line(Trunc(SS^[i,2].x),Trunc(SS^[i,2].z),Trunc(SS^[i,3].x),Trunc(SS^[i,3].z),White);

Line(Trunc(SS^[i,3].x),Trunc(SS^[i,3].z),Trunc(SS^[i,1].x),Trunc(SS^[i,1].z),White);

Line(Trunc(SS^[i,1].z*r),Trunc(SS^[i,1].y),Trunc(SS^[i,2].z*r),Trunc(SS^[i,2].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,2].z*r),Trunc(SS^[i,2].y),Trunc(SS^[i,3].z*r),Trunc(SS^[i,3].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,3].z*r),Trunc(SS^[i,3].y),Trunc(SS^[i,1].z*r),Trunc(SS^[i,1].y),White);

if(ClicCub[i]=True)Then begin

Line(Trunc(SS^[i,1].z),Trunc(SS^[i,1].y),Trunc(SS^[i,2].z),Trunc(SS^[i,1].y),White);

Line(Trunc(SS^[i,2].z),Trunc(SS^[i,1].y),Trunc(SS^[i,1].z),Trunc(SS^[i,3].y),White);

end;

S[CS]:=SS[CS];

cx:=GMX div 2;

cy:=GMY div 2+1;

For i:=1 to 3 do

begin

S^[CS,i].x:=S^[CS,i].x-cx+dF;

S^[CS,i].y:=cy-S^[CS,i].y-dF;

S^[CS,i].z:=S^[CS,i].z-cx-dF;

end;

procedure CreateSide(var Obj:PObj);

var cx,cy,i,j,k:Word;

begin

r:=1;

For i:=1 to Obj^.Count do

S[i]:=Obj^.Side[i]^.S;

TMP:=S;

Lab.Vid.Surface.Fill(0);

myForm(GetMaxX,GetMaxY);

cx:=GMX div 2;

cy:=GMY div 2+1;

For j:=1 to CS do

For i:=1 to 3 do

begin

TMP^[j,i].x:=TMP^[j,i].x-cx+dF;

TMP^[j,i].y:=cy-TMP^[j,i].y-dF;

TMP^[j,i].z:=TMP^[j,i].z-cx-dF;

end;

For i:=1 to CS do begin

Line(Trunc(TMP^[i,1].x),Trunc(TMP^[i,1].y),Trunc(TMP^[i,2].x),Trunc(TMP^[i,2].y),White);

Line(Trunc(TMP^[i,2].x),Trunc(TMP^[i,2].y),Trunc(TMP^[i,3].x),Trunc(TMP^[i,3].y),White);

Line(Trunc(TMP^[i,3].x),Trunc(TMP^[i,3].y),Trunc(TMP^[i,1].x),Trunc(TMP^[i,1].y),White);

Line(Trunc(TMP^[i,1].x),Trunc(TMP^[i,1].z),Trunc(TMP^[i,2].x),Trunc(TMP^[i,2].z),White);

Line(Trunc(TMP^[i,2].x),Trunc(TMP^[i,2].z),Trunc(TMP^[i,3].x),Trunc(TMP^[i,3].z),White);

Line(Trunc(TMP^[i,3].x),Trunc(TMP^[i,3].z),Trunc(TMP^[i,1].x),Trunc(TMP^[i,1].z),White);

Line(Trunc(TMP^[i,1].z*r),Trunc(TMP^[i,1].y),Trunc(TMP^[i,2].z*r),Trunc(TMP^[i,2].y),White);

Line(Trunc(TMP^[i,2].z*r),Trunc(TMP^[i,2].y),Trunc(TMP^[i,3].z*r),Trunc(TMP^[i,3].y),White);

Line(Trunc(TMP^[i,3].z*r),Trunc(TMP^[i,3].y),Trunc(TMP^[i,1].z*r),Trunc(TMP^[i,1].y),White);

end;

Flip(Lab.Vid);

end;

procedure LoadSide(var Obj:PObj);

var i,j,k:Word;TMP:PPL;

begin

r:=1;

For i:=1 to Obj^.Count do

S[i]:=Obj^.Side[i]^.S;

SS^:=S^;

Lab.Vid.Surface.Fill(0);

myForm(GetMaxX,GetMaxY);

For j:=1 to CS do

For i:=1 to 3 do

begin

SS^[j,i].x:=SS^[j,i].x+cx-dF;

SS^[j,i].y:=cy-SS^[j,i].y-dF;

SS^[j,i].z:=SS^[j,i].z+cx+dF;