Исследование операций и принятие решения

20

Министерство общего и профессионального образования РФ

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра «Системы управления»

Курсовая работа по дисциплине исследование операций

Вариант 4

Группа ПС-317Выполнил: Гречишникова Л.А.Проверил: Плотникова Н.В.Челябинск 2004Содержание

• ЗАДАНИЕ N1 3
• Условие 3
• Решение 4
• Ответ 11
• ЗАДАНИЕ N2 12
• Условие 12
• Решение 12
• Ответ 14
• ЗАДАНИЕ N3 15
• Условие 15
• Решение 15
• Ответ 19
• ЗАДАНИЕ N4 20
• Условие 20
• Решение 20
• Ответ 25
• Литература 26

ЗАДАНИЕ N1Условие

На швейной фабрике «Шанель» для изготовления четырех видов изделий может быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия приведены в таблице. Там же указаны имеющееся в распоряжении фабрики общее количество тканей каждого артикула и цена одного изделия данного вида. Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной.

Решение1. Выберем элементы решения.За элементы решения примем xi- количество i-го товара (элементов решений 4) i = 2. Составление системы ограничений bj ,j = имеем 3 ограничения3. Запишем целевую функцию.L= max4. Опираясь на условие задания и на перечисленные выше пункты, запишем математическую модель задачи.L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 maxПриведем нашу математическую модель к виду ОЗЛП с помощью добавочных неотрицательных переменных, число которых равно числу неравенств. Так как имеем неравенство вида меньше/ равно, тодобавочные переменные вводим в левую часть со знаком “+”. Получаем следующее:ОЗЛПL = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 maxТеперь определимся с существованием решения найденной ОЗЛП. Подсчитаем число уравнений(m) и число переменных(n), найдем их разность(k) и сделаем вывод. Итак, m=3, n=7, k=n-m=4. Так как число линейно независимых уравнений(m) меньше числа переменных(n),то система совместна и у нее существует бесчисленное множество решений. При этом (n-m) переменным мы можем придавать произвольные значения (свободные) и остальные m переменных (базисные) будем выражать через свободные.Свободные: x1, x2, x3, x4Базисные: x5, x6, x7 L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 max опорное решениеТак как в L коэффициент при x1 больше 0 и больше всех остальных коэффициентов при переменных, то переменную x1 будем увеличивать. Определим границу увеличения x1 следующим образом: возьмем два уравнения из системы ограничений;x5 = -x1-2x3-x4+180x7=-4x1-2x2-4x4+800Определим значения x1, при которых каждая из переменных x5 , x7 обратится в 0.x5 =0 x7=0 Увеличивать x1 можно до наименьшего из найденных значений необходимо поменять местами переменные x1 и x5.Новое решение будет следующим:Свободные: x2, x3, x4, x5 =0Базисные: x1, x6, x7 L=9*(180-2*x3-x4-x5)+6*x2+4*x3+7*x4=1620-18*x3-9*x4-9*x5+6*x2+4*x3+7*x4 =1620+6*x2-14*x3-2*x4-9*x5maxL = 1620+6*x2-14*x3-2*x4-9*x5maxТак как в L коэффициент при x2 больше 0, то переменную x2 будем увеличивать. Определим границу увеличения x2 по уже описанной выше схеме.x6 = 210-x2-3x3-2x4x7 = 80-2x2+8x3+4x5x6 =0 x7=0 необходимо поменять местами переменные x2 и x7.Новое решение будет следующим:Свободные: x7, x3, x4, x5 =0Базисные: x1, x6, x2 L = 1620+6*(40-0,5*x7+4*x3+2*x5)-14*x3-2*x4-9*x5= 1620+240-3*x7+24* x3+12*x5-14*x3-2*x4-9*x5= 1860+10* x3-2*x4+3* x5-3*x7L = 1860+10* x3-2*x4+3* x5-3*x7Так как в L коэффициент при x3 больше 0, то переменную x3 будем увеличивать. Определим границу увеличения x3 по уже описанной выше схеме.x6=170-2x4-7x3-2x5+0.5x7x2=40-0.5x7+4x3+2x5x6 =0 x2=0 необходимо поменять местами переменные x3 и x2.Новое решение будет следующим:Свободные: x7, x2, x4, x5 =0Базисные: x1, x6, x3 Видно, что получается отрицательная базисная переменная х3, поэтому очевидно, что x3 увеличивать нельзя. Поработаем с х5.x1=180-2x3-x4-x5x6=170-7x3-2x4-2x5+0.5x7x2=40+4x3+2x5-0.5x7x1 =0 x6=0 x2=0 Видим, что необходимо поменять местами х2 и х5Новое решение будет следующим:Свободные: x7, x3, x4, x2 =0Базисные: x1, x6, x5 x6=170-7x3-2x4-2x5+0.5x7 x5= -40+x2-4x3+0.5x7Видно, что получается отрицательная базисная переменная х5, поэтому очевидно, что x5 и х2 менять нельзя. Поменяем х5 с х6.L=1860+10x3-2x4+3(85-3.5x3-x4-0.5x6+0.25x7)-3x7=2115-0.5x3-5x4-1.5x6-2.25x75. Симплекс-таблицы. L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 L = 0 - (-9*x1-6*x2-4*x3-7*x4)L = 0- (-1620+9x5-6x2+14x3+2x4) ОтветЕсли фабрика произведет 95 штук первого изделия, 210 штук второго изделия, то стоимость произведенной продукции будет максимальной и будет равна 2115 единиц.ЗАДАНИЕ N2УсловиеРешить симплекс-методом задачу линейного программирования. С помощью симплекс-таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx при условии Ax B, где = 1 2 . . . 6 , В = b1 b2 . . . b6 , = 1 2 . . . 6 , А= (=1,6; =1,3).L = 5*x1+x2-x3+x4 +2x5 maxРешениеПриведем данное нам условие к стандартной форме записи и получим следующееL = 0 -(-5*x1-x2+x3-x4 -2x5 ) maxВидим, что x1,x2-свободные переменные и x3,x4,x5 - базисные; n= 5, m=3, k= 2.Заполним стандартную таблицуПоясним действия, проделанные выше за пределами таблицы. Выбрав в качестве разрешающего столбца x2. Далее в этом столбце нужно выбрать разрешающий элемент. Для этого рассмотрим все элементы данного столбца, имеющие одинаковый знак со своим свободным членом. Из них в качестве разрешающего выберем тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально. Отсюда понятно, почему в качестве разрешающей строки мы выбрали x4.Полученное решение удовлетворяет системе ограничений!ОтветL* = 8x*4,x*5=0 - свободные - базисныеЗАДАНИЕ N3УсловиеРешение транспортной задачи, все данные приведены ниже в таблице.Решение

Перед тем как приступить к решению, подсчитаем общее количество запасов и общее количество заявок . Понятно что имеем транспортную задачу с избытком заявок . Потребуем, чтобы все пункты назначения были удовлетворены в равной доле. При таком подходе задача сводится к задаче с правильным балансом: необходимо исправить поданные заявки, умножив каждую на коэффициент

k = ai bj . Рассчитаем k.

Тогда получим транспортную задачу с правильным балансом.

Найдем опорное решение с помощью метода северо-западного угла.

r = 3+5-1 =7

Проверим сумму по столбцам, сумму по строкам и количество базисных (заполненных) клеток.

Проверка по столбцам:

Проверка по строкам:

Количество заполненных клеток равно r =7. Найденный план является опорным.

Постараемся улучшить план перевозок

Подсчитаем цены выделенных пунктирными прямоугольниками циклов.

Цикл1

(1;1)-(1;2)-(2;2)-(2;1)

, где цена цикла

Цикл2

(2;3)-(2;4)-(3;4)-(3;3)

Для того чтобы стоимость плана уменьшилась, имеет смысл совершать перевозки только по тем циклам, цена которых отрицательна. Цена Цикла2 отрицательна, поэтому выбираем его. Цикл1 в данном случае рассматривать не будем: так как цена его положительна, поэтому план перевозок с помощью перерасчета этого цикла не улучшится.

После всех рассуждений получим следующее:

Итак, улучшаем план перевозок с помощью Цикла1. Для этого перенесем по циклу мнимальное количество груза, стоящее в отрицательной вершине.

Подсчитаем L для таблицы с изменениями.

L =

Допустим, что найдено оптимальное решение. Проверим его с помощью метода потенциалов.

Примем a1 = 0, тогда bj = cij - ai (для заполненных клеток). Если найденное решение справедливо, то во всех пустых клетках таблицы Дij = cij - (ai + bj )?0. Ясно, что Дij = 0 для заполненных клеток. Получим следующее.

Из таблицы видно, что найденное оптимальное решение верно, так как Дij ?0.

Ответ

	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1			0.14	0.1	0.09	3000
A2	0.08				0.07	6000
A3	0.1	0.15				8000
bj						17000

ЗАДАНИЕ N4Условие

№	b1	b2	c11	c12	c22	extr	a11	a12	a21	a22	p1	p2	Знаки огр. 1 2
	2	7	-1	-2	-3	max	2	-4	3	2	10	20

Решение задачи нелинейного программированияОпределить экстремум целевой функции вида = 1112+2222+1212+11+22при условиях111+122<=>1211+222<=>2 .Решениеѓ(x1,x2)= 1. Нужно определить относительный максимум функции для этого нужно определить стационарную точку . стационарная точка (-0,25;1.25)2. Исследовать найденную стационарную точку на максимум для чего определить вогнутость функции f. -2<0Условия выполняются, следовательно, целевая функция является строго вогнутой в окрестности стационарной точки.3. Составление функции Лагранжа. A БПерепишем систему А.А14. Вводим дополнительные переменные v1,v2,w1,w2 ,превращающие неравенства системы А1 в равенства. A2перепишем систему ББ2 - условия дополняющей нежесткости5. Решить систему А2 с помощью метода искусственных переменных. в 1 и 2-ое уравнение системы А2.Вводим псевдоцелевую функцию
базисные переменные: y1,y2,w1,w2свободные переменные:x1,x2,v1,v2,u1,u2

	80M	M	4M	0	M	4M	0
	10	0	1.5	0	0	0.5	0
	13.5	0	-1.5	-2	0.5	0.5	-0.5
	50	0	8	0	0	2	0
	58.5	-1	5.5	4	1.5	-0.5	1.5

Оптимальное решение:y1=x1=u1=y2=w1=v2=0x2=10w1=50 оптимальное решениеu2=13.5v1=58.56. проверим условие дополняющей нежесткостиxi*vi=0ui*wi=0 условия выполняютсяx1=0x2=10- решение исходной задачи квадратичного программированияОтветx1=0x2=10ЛитератураКурс лекций Плотникова Н.В.