Кинематич. пара	О	А	А1	О1	В	С	Д
Звенья, Образующие пару	0-1	1-2	2-3	3-0	3-4	4-5	5-0
Класс пары	5	5	5	5	5	5	5
Название	вращ.	вращ.	пост.	вращ.	вращ.	вращ.	пост.

Таким образом, n = 5, р5 = 7, р4 = 0

Степень подвижности механизма определяется по формуле Чебышева:

W = 3n - 2p5 - p4,

где n - число подвижных звеньев,

р5 - число кинематических пар 5-го класса,

р4 - число кинематических пар 4-го класса

Следовательно, степень подвижности механизма будет равна: W = 3*5-2*7-0 = 1

Вывод: рассматриваемый механизм содержит один механизм первого класса, состоящий из входного звена (кривошипа) и стойки.

Разложение механизма на структурные составляющие (группы Ассура и механизм I класса)

Структурные составляющие механизма

а - группа Ассура II класса 2-го вида

б - группа Ассура II класса 3-го вида

в - механизм I класса

В итоге получаем следующую структурную формулу механизма:

I->II3->II2

Т.е. механизм образован присоединением к механизму I класса группы Ассура II класса 2-го вида.

Следовательно, делаем вывод: рассматриваемый механизм является механизмом II класса.

Построение плана положений механизма

План положений механизма строится с использованием масштабного коэффициента, начиная с разметки положения неподвижных шарниров и направляющих. Под масштабным коэффициентом понимают отношение какой-либо физической величины к отрезку, изображающему эту физическую величину на плане.

м L=Фактическая длина звена (м)/Длина отрезка на плане (мм)

Построение плана положений необходимо начинать с положения, в котором начинается рабочий ход механизма (одно из двух крайних положений, которое в дальнейшем будем называть нулевым). Крайнее положение определяют по траектории движения исполнительного (выходного) звена, совершающего возвратное движение: скорость его в крайних положениях равна нулю, так как меняется направление движения.

В том случае, когда цикл движения механизма включает рабочий и холостой ход, положения рабочего хода определяются по заданному направлению силы полезного сопротивления, которая действует против движения выходного звена.

Если механизм не имеет холостого хода, т.е. при прямом и при обратном движениях выходного звена совершается полезная работа, то за нулевое можно принять любое из крайних положений.

Для определенных механизмов крайнее положение определяется легко: когда кривошип составляет с кулисой прямой угол или когда кривошип и шатун располагаются на одной прямой, для других - крайние положения следует определять подбором, контролируя определением скорости выходного звена.

Построив нулевое положение механизма, строят еще как минимум пять промежуточных положений. Для этого круговую траекторию конца кривошипа делят на шесть частей и нумеруют соответствующие положения в направлении вращения кривошипа. Остальные звенья в каждом из положений механизма строят последовательно засечками их длин, учитывая принятый масштабный коэффициент.

Следует учесть, что план положений должен включать оба крайних положения механизма, поэтому, если второе крайнее положение не вошло в число построенных шести, его строят дополнительно.

Одно из положений механизма, как правило, на рабочем ходу (лучше то, для которого будет проводиться силовой анализ) выделяется основными линиями, остальные изображаются контурными.

На плане положений при необходимости может быть определена траектория движения любой точки механизма, для чего последовательные положения выбранной точки соединяются плавной кривой.

Для механизма построен план семи положений. Масштабный коэффициент плана положений м L=0,0038м/мм. Размеры звеньев механизма равны

LOA=0,15м, LBC=0,65м, LBO1=0,65м.

Точки О и В расположены на одной горизонтали на расстоянии 0,4м, и расстояние от точки О до оси ползуна также равно 0,4м.

Сила полезного сопротивления направлена вверх, следовательно, рабочий ход ползуна механизма соответствует его движению вниз, поэтому нулевым будем считать верхнее крайнее положение ползуна. Второе крайнее положение механизма (нижнее), обозначено индексом k.

Размещая нагрузочную диаграмму FПС=f (SD) таким образом, чтобы перемещения ползуна (SD) на диаграмме и плане положений соответствовали друг другу, мы сможем легко определить значение силы полезного сопротивления (FПС) для любого положения механизма. Эти силы будут учитываться в расчете приведенного момента сил, при проектировании маховика в разделе «Динамика механизмов».

Для выполнения силового анализа следует выбрать одно из положений механизма, в котором сила сопротивления имеет наибольшее значение. Поэтому и план ускорений строится именно для этого положения. Максимальное значение силы полезного сопротивления Fmax для нашего примера приходится на первое положение механизма.

Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев

План скоростей строится последовательно для отдельных структурных составляющих механизма в порядке, соответствующем синтезу механизма. Последовательность построения плана скоростей для одного положения механизма:

· Определяется скорость точки кривошипа, к которой присоединена первая группа Ассура, и строится вектор скорости этой точки в масштабе мv из точки Р, называемой полюсом плана скоростей. Конец вектора обозначается той же буквой (только строчной), что и соответствующая точка на плане положений.

· Составляются векторные уравнения абсолютных скоростей точек в виде суммы переносной и относительной скоростей. В качестве переносного принимается движение точки, скорость которой известна, а относительное движение определяется в связи с этой точкой. Полученные уравнения решаются графически с использованием уже построенного вектора и известных направлений относительных скоростей.

· Определяются истинные значения абсолютной и относительной скоростей рассматриваемой точки с помощью масштабного коэффициента.

· Определяются величины и направления угловых скоростей звеньев, совершающих вращательное и плоскопараллельное движение, с помощью найденных относительных скоростей.

· С помощью принципа подобия в плане скоростей, определяется скорость той точки данной группы Ассура, к которой свободным элементом кинематической пары присоединена следующая структурная группа, и строится вектор скорости этой точки на плане.

В таком же порядке строится план скоростей, и определяются все кинематические параметры для последующих групп Ассура.

По заданию кривошип вращается по часовой стрелке с угловой скоростью щ1=9.8с-1.

Скорость точки А, принадлежащей оси шарнира, т.е. одновременно концу кривошипа и камню кулисы, равна

VA = щ1*LOA = 9.8c-1*0.15м = 1.5м/с

и направлена перпендикулярно положению звена ОА в сторону, соответствующую угловой скорости. Выбрав полюс Р и величину отрезка Ра, Изображающего скорости точки А (в данном примере Ра= 40мм), построим этот вектор и определим масштабный коэффициент.

м v = VA / Ра = 1,5мс-1 / 100мм = 0,015мс-1 / мм.

Рассмотрим группу Ассура, присоединенную к кривошипу и состоящую из звеньев 2 и 3, т.е. из кулисы ВС и камня А. Скорости точек А и В известны: скорость точки А только что найдена, а скорость точки В равна нулю, так как она одновременно принадлежит и стойке. Следовательно, мы можем определить скорость точки, принадлежащей средней кинематической паре этой группы. Обозначим эту точку буквой А', поскольку на плане положений она совпадает с точкой А, но принадлежит другому звену - кулисе ВС. Составим два векторных уравнения, связывающих скорость точки А', с известными скоростями точек А и В:

> > > >

VA' = VA + VA'A ; (VA'A || BC)

> > > >

VA' = VB + VA'B ; (VA'B + BC, VB = 0) ,

где VA'A - вектор скорости в относительном поступательном движении точки А' кулисы относительно точки А камня (направление ее известно - вдоль кулисы ВС, так как поступательная пара между звеньями 2 и 3 никакого другого относительного движения не допускает);

V A'B - вектор скорости в относительном вращательном движении точки А' относительно точки В (направление ее также известно - перпендикулярно кулисе ВС, так как скорость во вращательном движении всегда перпендикулярна радиус - вектору точки)

Решить систему векторных уравнений можно, если число неизвестных составляющих (величин и направлений) векторов, входящих в систему, не превышает удвоенного количества уравнений. В данном случае система содержит четыре неизвестные составляющие: величину и направление вектора VA', величину вектора VA'A и величину вектора VA'B. Следовательно, система решается.

Для решения системы необходимо в масштабе, используя правило сложения векторов, построить эти уравнения из одной точки, в данном случае из полюса Р. Вектор Ра, изображающий скорость VA, на плане уже есть; вектор скорости VA'A необходимо с ним сложить, поэтому через конец вектора VA (через точку а на плане скоростей) проводим известное направление (линию, параллельную ВС). Это все, что пока можно получить из первого уравнения системы.

Из второго уравнения: скорость VB = 0, следовательно, этот вектор представляет из себя точку, совпадающую с полюсом Р. Вектор VA'B, направление которого известно, необходимо сложить с вектором VB, для чего через конец вектора VB, (т.е. полюс) проводим нужное направление (линию, перпендикулярную ВС) до пересечения с уже проведенной через точку а линией.

Точка их пересечения и дает искомое решение системы уравнений, т.е. определяет конец вектора скорости VA' , поэтому на плане скоростей эта точка получает обозначение а'.

Действительное значение скорости точки А' равно:

VA' = Pa' * м v = 76мм * 0,015мс-1/мм = 1.14м/с

Отрезок аа на плане изображает скорость VA'A, ее действительное значение также может быть определено произведением длины отрезка аа на масштабный коэффициент м v

VA'A = aa' * мv = 64мм * 0,015мс-1/мм = 0,96м/с

Скорость VA'A направлена от точки а к точке а' на плане скоростей (проверьте по правилу сложения векторов первое уравнение решенной системы).

Далее определим угловую скорость звеньев 2 и 3 (щ2=щ3), так как вращательное движение для них общее (относительное движение - поступательное)

щ 2 = щ3 = VA'B / LA'B = VA' / АВ * мL = 1.14мс-1 / (147мм * 0,0038м/мм) = 2с-1

Вектор скорости точки А' относительно точки В равен вектору абсолютной скорости точки А', т.е. VA'B = VA' . Расстояние от точки А' до точки В (LA'B) может быть определено с помощью плана положений.

Направление угловой скорости щ 3 определяется следующим образом: мысленно перенесем вектор скорости VA'B в соответствующую точку плана положений (точку А') и рассмотрим ее движение относительно точки В; ясно, что вращение звена 3 осуществляется по часовой стрелке, что и показано круговой стрелкой на плане положений механизма в положении 1.

Затем в соответствии с предложенной выше последовательностью следует определить скорость точки С, к которой присоединена следующая группа Ассура. Воспользуемся принципом подобия: так как точки В, А', С, принадлежащие одному жесткому звену, расположены на плане положений на одной прямой, то и точки b, (она же полюс Р) а', с тоже должны располагаться на одной прямой на плане скоростей. Из подобия фигур имеем

Pa' / BA' = Pc / BC

Следовательно

Pд = (BC * Pa') / BA' = (171мм * 76мм) / 72мм = 88мм.

Построим этот вектор на плане скоростей и определим

VC = PC * мV = 1.29м/с

Теперь можно переходить к рассмотрению второй и последней в данном механизме группы Ассура, состоящей из звеньев 4 и 5 т.е. из шатуна BC и ползуна C.

Необходимо определить скорость точки C, принадлежащей вращательной кинематической паре, т.е. одновременно звену BC и звену C. Так как звено 5 совершает поступательное движение, а значит, скорости всех точек этого звена равны и направлены в одну сторону - вдоль направляющей, то известно направление скорости точки C. Скорость точки B определена выше по правилу подобия. Составим векторное уравнение, связывающее скорость точек B и C:

> > > >

VC = VB + VCB (VCB + CB), VC || направляющей,

где VDC - вектор скорости в относительном вращательном движении точки C относительно точки B, следовательно, направление этого вектора перпендикулярно положению звена BC на плане положений.

Так как полученное уравнение содержит всего две неизвестные составляющие - величины векторов VC и VCB , то оно может быть решено. Для этого через точку b на плане скоростей проведем линию, перпендикулярную положению звена CD на плане положений, а через полюс - линию, параллельную направляющей (вертикальную линию). Точка их пересечения есть точка c - конец вектора Pc, изображающего на плане скорость точки C. Тогда

VB = PB * мV = 0,35м/с

Отрезок dc на плане скоростей изображает скорость VDC , которая направлена на плане в сторону точки d. Угловая скорость звена CD (щ4) может быть определена

щ 4 = VBC / LCB = (cb * м V) / LCB = 6.6с-1.

Для определения направления угловой скорости звена BC следует мысленно поместить вектор относительной скорости VCB в соответствующую точку плана положений, т.е. в точку C. Очевидно, что под действием этого вектора звено вращается по часовой стрелке.

Таким образом, строятся планы скоростей для всех положений механизма, приведенных на плане положений. Все планы можно строить из одного приведенного на плане положений. Все планы можно строить из одного полюса. Результаты расчетов сводят в таблицу, при этом в пояснительной записке не следует повторять формулы и расчеты для всех положений механизма.

Значения скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма.

Положение механизма Кинематич. параметры	0(6)	1	2	3	k	4	5
VA	0	9,8
VA'	0	1.14	1.6	0.9	0	0.6	1.4
VB	0	1.32	1.59	1.08	0	0.98	3.08
VC	0	1.29	1.60	1.05	0	0.95	3.60
щ3	0	2.0	2.6	1.8	0	1.5	3.68
щ4	0	6.60	0.16	0.42	0	0.44	0.37
VS3	0	0.65	0.80	0.53	0	0.48	1.80
VS4	0	1.30	1.59	1.05	0	0.29	3.75

Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев

Решение этой задачи также проводится графоаналитическим методом, т.е. построением плана ускорений. В соответствии с заданием план ускорений строится только для одного положения - того, для которого будет проводиться силовой анализ (на рабочем ходу для наиболее нагруженного положения механизма).

Построение плана ускорений проводится в той же последовательности, что и плана скоростей. Свойства плана ускорений аналогичны свойствам плана скоростей, поэтому отдельно не описываются.

Построение плана ускорений проводим для первого положения механизма, так как это наиболее нагруженное положение (сила полезного сопротивления максимальна).

Ускорение точки А, совершающей вращательное движение вокруг точки О, складывается из двух составляющих:

> > >

аА = аАn + aAф

где аАn - вектор нормальной составляющей ускорения точки А, направленный к центру вращения и равный по модулю

аАn = щ12 * LOA = 9.82 с-2 * 0,15м = 14.4м/с-2

аАф - вектор тангенциальной составляющей ускорения точки А, направленный перпендикулярно вектору нормальной составляющей и равный по модулю

афА = е1 * LOA = 0

поскольку в данном случае угловая скорость кривошипа задана постоянной, а значит угловое ускорение кривошипа е1 = 0.

Следовательно, ускорение точки А конца кривошипа будет равно нормальной состаляющей аАn, и мы можем построить этот вектор. Для этого выберем полюс плана ускорений, обозначим его буквой р, построим вектор, параллельный соответствующему положению кривошипа длиной, например, 75мм. Определим масштабный коэффициент

м а = аnA / рa = 14.4мс-2 / 100мм = 0,14м*с-2 / мм

Соблюдая последовательность, принятую при построении плана скоростей, определяем ускорение точки А', для чего составляем и решаем систему векторных уравнений.

На основании теоремы сложения ускорений (вектор абсолютного ускорения точки равен сумме векторов ускорений в переносном движении, относительном и ускорения Кориолиса) можем записать:

> > > >

аА' = аА + аА'Аk + aA'Ao (1)

> > > >

aA' = aB + aA'Bn + aA'Bф (2)

где аА - вектор ускорения точки А кривошипа и кулисного камня (величина и направление его известны);

аА'Ао - вектор относительного ускорения точки А' кулисы относительно точки А (у него известно только направление - вдоль кулисы ОВ);

аА'Аk - вектор ускорения Кориолиса, по модулю равный

аА'Аk = 2щ3 * VA'A = 2 * 2,3c-1 * 0,96м*с-1 = 4,14м/с2

Кориолисово ускорение возникает в том случае, когда вектор относительной скорости поворачивается (т.е. переносное движение - вращательное), поэтому его еще называют поворотным ускорением. Направление его определяется поворотом вектора относительной скорости VA'A на 90о в направлении переносной угловой скорости щ3.

аВ - вектор ускорения точки В (переносное ускорение, равное нулю, так как точка В принадлежит еще и стойке);

аА'Вn - нормальная составляющая вектора относительного ускорения точки А' относительно точки В, равная по модулю

аА'Вn = щ32 * LA'B =0,16м/с-2

направленная к центру вращения, т.е. от точки А' к точке О1;

аА'Вф - тангенциальная составляющая вектора относительного ускорения точки А' относительно точки В, для которого известно только направление, перпендикулярное нормальной составляющей (или кулисе ВС).

Отметим, что в уравнении (2) Кориолисова ускорения нет, так как в этом случае переносное вращательное движение отсутствует.

Поскольку полученная система двух уравнений содержит четыре неизвестные составляющие векторов, то она может быть решена.

Решаем графически систему уравнений:

- из точки а плана ускорений проводим в соответствующем направлении вектор ak, изображающий ускорение Кориолиса, в принятом масштабе

ak = aA'Ak / мa = 29,6мм;

- через точку k проводим направление вектора аА'Ао;

- из полюса р проводим в соответствующем направлении вектора рn1, изображающий нормальную составляющую аА'Вn в принятом масштабе

рn1 = aA'Bn / мa = 0,16м*с-2 / 0,012м*с-2 = 13мм.

Этот вектор проводим из полюса потому, что ускорение точки В равно нулю, и следовательно, точка b совпадает с полюсом;

- через точку n1 проводим направление вектора аА'Вф до пересечения с направлением вектора аА'Ао, проведенный ранее через точку k. Точка пересечения и будет точкой а', соединив которую с полюсом, получим величину и направление ускорения точки А'.

Модуль ускорения точки А' будет равен

аА' = ра' * ма = 29мм * 0,012м*с-2/мм = 0,34м*с-2,

а направление соответствует направлению вектора ра' на плане ускорений.

Угловое ускорение третьего звена е3 и равное ему е2 можно определить с помощью найденной в результате решения уравнений тангенциальной составляющей ускорения вращательного движения:

е3 = aA'Bф/LA'B=(n1a'*мa)/(A'B*мL)=(25мм*0,012мс-2/мм)/(72мм*0,005м/мм) = 0,83с-2,

ибо вектор n1a' на плане ускорений изображает тангенциальную составляющую аА'Вф

Направление углового ускорения определим, перенеся мысленно вектор n1a' с плана ускорений в точку А' плана положений. Она не обозначена на плане, но мы помним, что она совпадает в данном случае с точкой А. Направление углового ускорения на плане положений показано круговой стрелкой.

Ускорение точки С найдем по принципу подобия в плане ускорений

ра' / рс = ВА' / ВС, отсюда рс = (ВС*ра') / ВА' = (100мм*29мм) / 72мм = 40мм

Построим этот вектор на плане ускорений как продолжение вектора ра' и найдем величину ускорения точки С:

аС = рс * ма = 40мм * 0,012м*с-2/мм = 0,48м*с-2

Определим далее ускорение точки D, для чего составим уравнение

> > > >

aD = aC + aDCn + aDCф

где аС - в данном случае переносное ускорение, у которого известны величина и направление;

аDCn - вектор нормальной составляющей относительного (вращательного) ускорения точки D относительно точки С, по модулю равный

aDC n = щ42 * LDC = 0,412с-2 * 0,2м = 0,034м/с-2

и направленный вдоль звена DC к точке С;

аDCф - вектор тангенциальной составляющей того же ускорения, у которого известно только направление - перпендикулярно звену DC.

Кроме того, нам известно направление ускорения точки D (звено 5 движется поступательно), следовательно, уравнение содержит две неизвестные составляющие входящих в него векторов, и его можно решить графически на плане ускорений следующим образом:

- из точки b в соответствующем направлении проведем вектор сn2, изображающий составляющую аDCn, в масштабе

cn2 = aCBn / мa = 0,034м*с-2 / 0,012м*с-2/мм = 3мм;

через точку n2 проведем направление вектора аDCф (линию, перпендикулярную DC) до пересечения с направлением ускорения аD, т.е. с вертикальной линией, проведенной через полюс. Точка пересечения и есть точка d плана ускорений, следовательно,

аD = рd * мa = 25мм * 0,012м*с-2/мм = 0,3м*с-2.

Угловое ускорение звена DC определяется

е4 = aDCф/LDC=n2d*мa/DC*мL=(17мм*0,012мс-2/мм)/(40мм*0,005м/мм)=4,5с-2

Направление углового ускорения звена DC определим с помощью вектора n2d, изображающего тангенциальное ускорение аDCф. Мысленно перенося этот вектор в точку D плана положений, покажем направление углового ускорения круговой стрелкой.

Силовой анализ механизма

Целью силового анализа является определение реакций в кинематических парах, т.е. тех сил, которые передаются в кинематической цепи от одного звена к другому. При решении этой задачи методом кинетостатики (или методом Н.Г. Бруевича) появляется возможность определить и уравновешивающую силу - силу, которую должен сообщить двигатель для нормального функционирования механизма технологической машины, или ту силу полезного сопротивления, которую может преодолеть двигатель.

Метод кинетостатики основан на применении принципа Даламбера, который формулируется следующим образом: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме действующих на нее внешних сил приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики. Это позволяет вести расчет неравномерно движущихся звеньев по уравнениям статики.

В общем случае, когда звено совершает плоское движение, силы инерции приводятся к главному вектору сил инерции FИ , приложенному к центру масс звена и главному моменту пар сил инерции МИ , определяемый по соотношениям:

FИ = -m * aS

MИ = -JS * е

где m - масса звена, кг;

aS - ускорение центра масс звена, м/с2

JS - осевой момент инерции звена относительно центра масс, кг*м2

е - угловое ускорение звена, с2

Отметим, что реакция в кинематической паре 5-го класса всегда содержит две неизвестные составляющие (в поступательной - точку приложения и величину силы, во вращательной - величину и направление силы), и механизм без избыточных связей является статически определимым. Для упрощения расчетов значительно удобнее разложить его на группы Ассура, которые также являются статически определимым (доказательства этого утверждения см. в (3) или (4)).

Таким образом, силовой анализ механизма следует проводить по структурным группам, начиная с группы, наиболее удаленной от механизма I класса, и заканчивая сомим механизмом I класса.

Иными словами, силовой анализ механизма проводится в порядке, обратном кинематическому.

Рассмотрим проведение силового анализа для первого положения механизма, структурный и кинематический анализ которого приведены в работе (1). Решение этой задачи выполним графоаналитическим методом.

Для проведения силового анализа необходимо знать все внешние силы, в том числе силы инерции, действующие на механизм, поэтому необходимо задаться массами и моментами инерциизвеньев, а также координатами центров масс звеньев.

Массы звеньев, совершающих вращательное и плоскопараллельное движение, определяются по эмпирической формуле:

mi = q*li

где mi - масса i-го звена, кг;

q - массовый коэффициент, принимаемый 15кг/м.

li - длина i-го звена,м.

Массы звеньев округляются до целых величин кратных 5.

Массы звеньев, совершающих поступательное движение, принимают равными: для строгальных, долбежных станков, пуансонов, прессов - 80…150кг, для камней кулисных механизмов - массе кривошипов.

Моменты инерции стержневых звеньев механизма принимать расчетом по формуле:

Ji = (mi * li2) / 10,

где Ji - момент инерции массы i-го звена, кг*м2;

mi - масса i-го звена, кг;

li - длина i-го звена,м.

Где J- момент инерции массы i-го звена, кг·м2;

mi- масса i-го звена, кг;

li- длина i-го звена, м.

Моменты инерции массы округлить до двух значащих цифр кратных 5.

Центры тяжести звеньев расположены посередине звеньев, если в заданиях нет дополнительных указаний относительно их расположения. Центры масс треугольных звеньев лежат в точке пересечения медиан треугольника.

Максимальная величина силы полезного сопротивления принимается в 5…10 раз больше, чем сумма сил тяжести всех звеньев механизма.

Страницы: 1, 2