EJWIV (x) = q (x) (1)

После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:

, (2)

в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.

2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:

W(0) = 0 (3)

WII (0) = 0 (4)

На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:

W(L) = 0 (5)

(6)

3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q0 = const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:

EJWIV (x) = q 0 , (7)

а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:

( 8)

Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:

(9)

(10)

Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что

W(0) = D,

откуда следует, что величина D будет равна: D = 0 (11)

Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что WII(0)=В, откуда следует, что величина В будет равна: В = 0 (12)

Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что

(13)

Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:

(14)

или ,

откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида

(15)

Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:

(16)

Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.

(17)

значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:

; (18)

, (19)

где: ?0 - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:

6. Значения изгибающих моментов M(x) , действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:

или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:

(25)

На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментов M(x).

Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр необходимо в первую очередь определить значение координаты (xпр) расположения этого изгибающего момента Mпр. Для определения значения координаты (xпр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):

(26)

Тогда значение координаты (xпр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значение Mпр, определится из условия:

или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:

,

Откуда (xпр) (27)

Тогда экстремальное значение Mпр будет равно:

(28)

Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значение Mоп) или при x = xпр (значение Mпр).

Значение Mоп определим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:

(29)

7. Коэффициент опорной пары ? определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки Mоп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления Mжз:

? (30)

Значение изгибающего момента Mжз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:

, (31)

тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары ? упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:

? (32)

Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары ?:

(33)

Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов АI и СI при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары ?:

(34)

(35)

Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп будут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары ?:

(36)

(37)

А значение координаты (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) определится выражением:

(38)

8. Значения перерезывающих сил N (x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:

,

которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:

(39)

Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:

(40)

и в районе упругой заделки (при x = L ):

(41)

Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение

9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.

В этом случае, исходя из формул (34) и (35)

;

,

а координата (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) будет равна:

или в безразмерном относительном виде: