Нехай існує [m] пунктів, у яких зосереджено деякий однорідний вантаж. Номер пункту зосередження [i] = 1,m. Нехай відома кільккість вантажу, що знаходиться у кожному пункті зосередження [ai]. Цей вантаж треба доставити до [n] пунктів споживання. Номер пункту споживання [j]=1,n. Нехай відома потреба [bij] у цьому вантажі у кожному пункті споживання. Також відомі питомі витрати на перевезення вантажу з i-того пункту зосередження до j-того пункту споживання [cij]. Треба визначити, скільки вантажу треба везти з кожного з пунктів зосередження до кожного з пунктів споживання таким чином, щоб з кожного пункту зосередження загалом вивозилоси не більше, ніж там є, а до кожного пункту споживання не менше від потреби (), і загальна вартість перевезень була якомога меншою.

Розв'язок:

Позначимо невідомі обсяги перевезень з кодного пункту зосередження до кожного пункту споживання [xij]. Отже, умова про те, що загальна кількість вантажу, вивезена з кожного пункту зосередження, не перевищує кільксітвантажу в ньому:

Умова про те, що потреба кожного пункту споживання має задовільнятися:

Обсяги перевезень між кожним пунктом зосередження і споживання - невід'мні величчини:

Розглянуті нерівності визначають деяку множину, до якої належить багато варіантів перевезень. Серед цих варіантів треба обрати такі, що мінімізували б функцію:

(пошук умовного мінімуму для функції багатьох змінних).

Приклад

Заводи деякої автомобільної фірми розміщено у містах А, В, С та D. Основні центри розподілення продукції сконцентровано у містах 1, 2, 3 та 4. Обсяги виробництва заводів наведено у таблиці, так само як величини попиту у центрах розподілення. Вартість перевезення автомобілів залізницею по кожному із маршрутів або час перевезення по кожному із маршрутів наведено у таблиці.

Побудуйте математичну модель, яка дозволить визначити кількість автомобілів, що перевозиться з кожного заводу у кожен розподільчий центр, та оптимальний план перевезень таким чином, щоб загальні транспортні витрати були мінімальними.

Пункт	71
Місто А	1000
Місто В	1300
Місто С	1400
Місто D	800
Розподільчий центр (РЦ) у місті 1	1300
РЦ у місті 2	1500
РЦ у місті 3	500
РЦ у місті 4	1200

Пункт	Критерій оптимальності - вартість перевезення автомобілів, $/шт
	71
A-1	150
A-2	95
A-3	100
A-4	50
B-1	65
B-2	45
B-3	55
B-4	130
С-1	65
С-2	80
С-3	75
С-4	65
D-1	55
D-2	80
D-3	60
D-4	40

Для рішення задачі побудуємо її математичну модель.

Невідомими є обсяги перевезень. Нехай xij - обсяги перевезень з і-го постачальника до j-го продавця. Цільовою функцією є залежність вартості від розміру партії постачання:

(1),

де cij - вартості перевезень с i-го постачальника до j-го продавця.

Цільова функція

F = 150x11 + 95x12 + 100x13 +50x14 + 65x21 +45x22 +55x23 +130x24 +65x31 + 80x32 +75x33 +65x34 +55x41 +80x42 +60x43 +40x44 > min.

Крім цього, невідомі повинні задовольняти таким обмеженням:

- ненегативність обсягів постачань

xij?0.

- розглянемо модель типу:

Розмістимо дані ситуаційної задачі в спеціальній таблиці:

Покупці Постачальники	1	2	3	4	Виробництво
А	150	95	100	50	1000
B	65	45	55	130	1300
C	65	80	75	65	1400
D	55	80	60	40	800
Попит	1300	1500	500	1200

У клітинах, що стоять на перетині постачальника й покупця, ставимо довільні цифри, відстань від споживача до постачальника.

Перевіримо ситуацію на баланс:

Виробництво = 1000 + 1300 + 1400 + 800 = 4500

Попит = 1300 + 1500 + 500 + 1200 = 4500

Баланс виконується, тому не треба додавати фіктивні пункти споживання чи попиту.

Побудуємо план перевезень методом північно-західного кута:

Покупці Постачальники	а	б	в	г	Виробництво
А	1000				1000
B	300	1000			1300
C		500	500	400	1400
D				800	800
Попит	1300	1500	500	1200

Розрахуємо середню вартість, на яку перевозиться вантаж:

Ще раз побудуємо план:

ПокупціПостачальники	а	б	в	г	Виробництво
А				1000	1000
B	300	800	200		1300
C	200	700	300	200	1400
D	800				800
Попит	1300	1500	500	1200

Розрахуємо середню вартість:

Як бачимо, другий план значно краще, вартісь перевезення вантажу скоротилася на 18,89 $.

Для перевірки оптимальності складеного плану перевезень скористаємося надбудовою „Поиск решения” MS Excel (рис.1.1 і.1.3).

До комірки F10 внесено формулу =СУММ(B10:E10) і простягнуто її до комірки F13, до комірки В14 внесено формулу =СУММ(B10:B13) і простягнуто її до комірки Е14. До цільовій комірці G14 введено формулу (1) у вигляді виразу =СУММПРОИЗВ(B4:E7;B10:E13).

Рис.1.1.

На рис.1.2. наведено внесення обмежень моделі у діалоговому вікні надбудови „Поиск решения”.

Рис.1.3.

Розрахуємо середню вартість:

Як бачимо, останній план значно краще, вартісь перевезення вантажу скоротилася на 23,11 $.

Список використаної літератури

Николин В.И. Автотранспортный процесс и оптимизация его элементов. - М.: Транспорт, 1990.

Боборыкин В.А. Математические методы решения транспортных задач. - Л.: СЗПИ, 1986.

Геронимус Б.А. Экономико-математические методы в планировании на автомобильном транспорте. - М.: Транспорт, 1982.

Аникин Б.А., Тяпухин А.П. Коммерческая логистика // Издательство Велби. М.: - 2005. - 432 с.