Имеем классическую транспортную задачу с числом базисных переменных, равным n+m-1 , где m-число пунктов отправления, а n - пунктов назначения. В решаемой задаче число базисных переменных равно 3+3-1=5.

Число свободных переменных соответственно 9-4=4.

Примем переменные x1a, x1b, x2a, x2с, x3с в качестве базисных, а переменные x1c, x2b, x3а, x3b в качестве свободных (данный выбор позволяет легко выразить базисные переменные через свободные).

Далее в соответствии с алгоритмом Симплекс метода необходимо выразить базисные переменные через свободные:

Следующий шаг решения - представление целевой функции через свободные переменные:

В задании требуется найти минимум функции L. Так как коэффициент при переменной x1c меньше нуля, значит найденное решение не является оптимальным.

Составим Симплекс таблицу:

x3a

x2b

x3b

x1c

630

-10

-3

-1

-4

-1

x1a

-10

-1

x1b

x2a

-1

x2c

-1

x3c

Выбор в качестве разрешающей строки х2с обусловлен тем, что именно в этой строке отношение свободного члена к переменной х1с минимально. Выполним необходимые преобразования над элементами Симплекс таблицы:

	bi	x3a	x2b	x3b	x2c
L	620	-2	-1	0	-1
x1a	10	1	-1	0	-1
x1b	60	0	1	1	0
x2a	80	0	1	0	1
x1c	10	-1	0	-1	1
x3c	80	1	0	1	0

Все коэффициенты при свободных переменных неположительные, следовательно, найденное решение является оптимальным. Запишем его:

x1a=10; x1b=60; x1c=10;

x2a=80; x2b=0; x2c=0;

x3a=0; x3b=0; x3c=80;

L=620;

Для проверки правильности вычислений можно составить транспортную таблицу:

	A	B	C
1	10	60	10	80
2	80	0	0	80
3	0	0	80	80
	90	60	90

После анализа таблицы можно сделать вывод, что вычислительных ошибок при расчетах сделано не было.

Ответ:

x1a=10 x1b=60 x1c=10

x2a=80 x2b=0 x2c=0

x3a=0 x3b=0 x3c=80

L=620

2.2 Решение задачи 2

Составим систему ограничений исходя из условия задачи

Целевая функция задачи имеет вид:

Пусть переменные x1 и x2 - свободные, а переменные x3, x4 и x5 - базисные.

Далее необходимо представить систему ограничений в стандартном виде. Для этого проведем ряд преобразований:

Подставим выражения для x3 и x4 в третье уравнение системы ограничений:

Упростим полученное выражение и выразим x5:

Теперь можно представить систему ограничений в стандартном виде:

Необходимо также выразить целевую функцию через свободные переменные:

Теперь можно заполнить Симплекс-таблицу

	bi	x1	x2
L	1	-1	-3
x3	2	-1	2
x4	2	1	1
x5	1	1	-1

Исходя из того, что все свободные члены положительны, можно сделать вывод о том принятое решение является опорным.

Далее нужно выбрать разрешающий элемент. В качестве разрешающего столбца целесообразно принять столбец x1, так как коэффициент при x1 в целевой функции меньше коэффициента при x2. Разрешающей строкой будет строка x5-, так как отношение свободного члена этой строки к коэффициенту при x1 минимально. Отметим найденный разрешающий элемент в таблице, а также заполним необходимые клетки:

	bi	x1	x2
L	1 1	-1 1	-3 -1
x3	2 1	-1 1	2 -1
x4	2 -1	1 -1	1 1
x5	1 1	1 1	-1 -1

Перерисуем таблицу с учётом замены x2 на x3:

	bi	x5	x2
L	2	1	-4
x3	3	1	1
x4	1	-1	2
x1	1	1	-1

Коэффициент при х2 в целевой функции отрицателен, значит необходимо произвести ещё одну замену. В качестве разрешающей строки примем x3. Таким образом, разрешающим будет элемент, стоящий на пересечении строки x3 и столбца x2.

	bi	x5	x2
L	2 12	1 4	-4 4
x3	3 3	1 1	1 1
x4	1 -6	-1 -2	2 -2
x1	1 3	1 1	-1 1

В итоге получим:

	bi	x5	x3
L	14	5	4
x2	3	1	1
x4	-5	-1	0
x1	4	2	1

Коэффициенты при свободных переменных в целевой функции положительны, значит, найденное решение является оптимальным.

Ответ:

x1=4

x2=3

x3=0

x4=-5

x5=0

L=14

2.3 Решение задачи 3

Условие задачи задано в виде транспортной таблицы:

ПН ПО	B1	B2	B3	запасы
A1	50	15	10	300
A2	21	30	20	100
A3	18	40	25	200
A4	23	22	12	800
A5	25	32	45	200
заявки	500	300	800

Применим к задаче метод «Северо-Западного угла». Для этого заполним таблицу начиная с левого верхнего угла без учёта стоимости перевозок:

ПН ПО	B1	B2	B3	запасы
A1	300			300
A2	100			100
A3	100	100		200
A4		200	600	800
A5			200	200
заявки	500	300	800

В таблице заполнено n+m-1=7 клеток, значит найденное решение является опорным. Далее необходимо улучшить план перевозок в соответствии со стоимостями доставки грузов. Для этого используем циклические перестановки в тех циклах, где цена отрицательна.

ПН ПО	B1	B2	B3	запасы
A1	50 300	15	10	300
A2	21 100	30	20	100
A3	18 100	40 100	25	200
A4	23	22 200	12 600	800
A5	25	32	45 200	200
заявки	500	300	800

В данной таблице в верхней части ячейки указана стоимость перевозки, а в нижней количество перевозимого груза. Прямоугольником выделен отрицательный цикл г1=25+22-40-12=-5. Минимальное значение перевозок, стоящих в отрицательных вершинах равно k1=100. В итоге получим уменьшение стоимости перевозки:

ДL1=-5*100=-500

Транспортная таблица примет следующий вид:

ПН ПО	B1	B2	B3	запасы
A1	50 300	15	10	300
A2	21 100	30	20	100
A3	18 100	40	25 100	200
A4	23	22 300	12 500	800
A5	25	32	45 200	200
заявки	500	300	800

г2=12+32-45-22=-23 k2=200 ДL2=-23*200=-4600

ПН ПО	B1	B2	B3	запасы
A1	50 300	15	10	300
A2	21 100	30	20	100
A3	18 100	40	25 100	200
A4	23	22 100	12 700	800
A5	25	32 200	45	200
заявки	500	300	800

г3=10+18-50-25=-47 k3=100 ДL3=-47*100=-4700

ПН ПО	B1	B2	B3	запасы
A1	50 200	15	10 100	300
A2	21 100	30	20	100
A3	18 200	40	25	200
A4	23	22 100	12 700	800
A5	25	32 200	45	200
заявки	500	300	800

г4=10+23-12-50=-29 k4=200 ДL4=-29*200=-6800

ПН ПО	B1	B2	B3	запасы
A1	50	15	10 300	300
A2	21 100	30	20	100
A3	18 200	40	25	200
A4	23 200	22 100	12 500	800
A5	25	32 200	45	200
заявки	500	300	800

Отрицательных циклов в транспортной таблице больше нет. Следовательно, можно предположить, что найденное решение является оптимальным. Для проверки применим метод потенциалов.

Составим систему:

Положим в2=0, тогда б4=-22

в1=1, б2=-20

в3=-10, б2=-22

б1=-20, б5=-32

Все коэффициенты б отрицательны, значит, найденный план перевозок является оптимальным.

Ответ:

x21=100;

x31=200;

x41=200;

x42=100;

x52=200;

x13=300;

x43=500.

2.4 Решение задачи 4

Составим математическую модель поставленной задачи.

Найти минимум функции f(x1,x2)

При ограничениях

Заменив знак функции f(x1,x2) на противоположный, перейдем к поиску максимума функции:

Теперь задача приведена к стандартному виду задачи квадратичного программирования. Приступим к решению.

1) Определим стационарную точку

Решив систему, получим:

x1=10

x2=7

Очевидно, что данные координаты не удовлетворяют условиям ограничений. Поэтому проверять стационарную точку на относительный максимум нет необходимости.

2) Составим функцию Лагранжа:

Применив к функции Лагранжа теорему Куна-Таккера, будем иметь систему:

3) Преобразуем полученную систему:

Из уравнения 3 системы следует, что x2=6-x1:

Для обращения неравенств системы в равенства введём V1, V2, W и преобразуем систему:

4) Запишем условия дополняющей нежесткости:

5) Введем в систему уравнений искусственные переменные z1,z2:

Поставим задачу максимизации функции .

Для решения этой задачи воспользуемся Симплекс-методом. Примем переменные z1 и z2 в качестве базисных:

Составим Симплекс таблицу:

-17M

-5M

-M

-1

-3

-1

-3

-1

-17M

17M

-5M

-M

17/5

1/5

-1

-1/5

-1

-1/5

1/5

-51/5

-3/5

-3

3/5

-3/5

17/5

-1

1/5

-1/5

1/5

	bi	z1	z2	U2	V1	V2
ц	0	M	M	0	0	0
x1	17/5	1/5	1/5	-1/5	-1/5	1/5
U1	-11/5	-3/5	-2/5	1/2	3/5	-2/5
W	17/5	1/5	1/5	-1/5	-1/5	1/5

В итоге получим

x1=17/5

x2=6-x1=13/5

Как видно, координаты стационарной точки сильно отличаются от координат, полученных в качестве ответа. Это можно объяснить тем, что стационарная точка не удовлетворяет условиям ограничений.

Условия дополняющей нежесткости

выполняются.

Следовательно, найденное решение является оптимальным.

Найдем значения целевой функции:

=- 51/5 - 52/5 + 289/50 - 221/25 + 169/25 =

= -16.9

Ответ:

x1 = 17/5

x2 = 13/5

f(x1,x2) = -16.9