Последние десятилетия характеризуются бурным развитием вычислительной техники. Расширяются области применения вычислительных машин и совершенствуются методы их использования. Созданы универсальные языки программирования и разработаны мощные операционные системы.

Сейчас невозможно представить себе какую-либо область деятельности, обходящуюся без применения компьютерной техники. Компьютеры используются при проведении различных инженерных расчетов, при решении экономических задач, в процессе управления производством, при получении оценок производственных ситуаций и во многих других случаях.

Системы линейных уравнений появляются почти в каждой области прикладной математики. В некоторых случаях эти системы уравнений непосредственно составляют ту задачу, которую необходимо решать, в других случаях задача сводится к такой системе.

Чтобы быстро справится с решением системы линейных уравнений, можно воспользоваться средствами вычислительной техники - составить программу на языке программирования.

В данной курсовой работе рассматривается возможность решения систем линейных уравнений матричным способом и методом Гаусса с помощью программы, созданной на языке Паскаль.

1. Описание математических методов решения систем линейных уравнений

1.1 Метод Гаусса
Идея метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных. Алгоритм решения системы уравнений этим методом проследим на примере.

Пример 1.

Выбирается ведущее уравнение с коэффициентом при х1, равным 1. В нашем примере ведущим уравнением будет второе. Систему лучше переписать, поставив это уравнение на первое место:

Умножаем первое уравнение на 6 и вычитаем из полученного второе, чтобы исключить из второго неизвестное х1. Первое уравнение записываем, а на место второго - результат вычитания.

Затем первое уравнение умножим на 3 и складываем с третьим уравнением. Тогда получаем систему

Или

первое уравнение переписываем без изменения, а второе умножаем на 7 и вычитаем из него третье уравнение, умноженное на 15, чтобы избавиться от х2 в третьем уравнении. При этом второе записываем без изменения, на месте третьего - результат вычитания. Тогда

Из третьего следует х3 =-3, подставим его во второе, получим х2 = - 2. Далее подставим найденные х2 и х3 в первое уравнение, получим х1 = 1.

Решение системы: х1 = 1, х2 = - 2, х3= - 3.

Примечание: если система уравнений не содержит уравнения с коэффициентом 1 при х1, тогда исключение х1 из второго и третьего достигается умножением сначала первого на коэффициент второго, а второго на коэффициент первого. Затем умножаем первое на коэффициент третьего, а третье на коэффициент первого. Таким образом при вычитании исключаем х1.

1.2 Матричный метод
Запишем систему линейных 3 уравнений с 3 неизвестными

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных

А =

Введем в рассмотрение матрицы - столбцы для неизвестных и свободных членов:

Х = ; В = .

Тогда систему (2) можно переписать в матричной форме

АХ=В

Умножив это уравнение на слева, получим , откуда =или

Следовательно, матрица - решение Х находится как произведение на В.

Пример 2. Решить систему уравнений матричным методом

Решение: определитель матрицы

А=

?=-1, значит, существует обратная матрица .

Матрица - столбец при неизвестных:

Х =

Матрица - столбец из свободных членов:

В =

Тогда решение запишется в виде

Откуда следует, х1 = 1; х2 = 0; х3 = 2.

1.3 Вычисление определителей второго и третьего порядка
Число (а11 а22 - а12 а21) называется определителем второго порядка и обозначается символом

Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца. Числа а11, а12, а21, а22 называются элементами определителя. Диагональ определителя, на которой расположены числа а11, а22 - главная, а элементы а12, а21 составляют побочную диагональ.

Определитель 3-го порядка содержит три строки и три столбца:

Для вычисления определителя третьего порядка существует несколько способов.

Рассмотрим метод вычисления определителя разложением по элементам первой строки.

Введем понятие минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца в которых этот элемент расположен. Обозначается Мij (i - номер строки, j - номер столбца).

Например, минором элемента а12 является определитель

Алгебраическим дополнением данного элемента определителя называется его минор, умноженный на (-1) i+j. Алгебраические дополнения обозначаются буквами Аij, и тогда Аy= (-1) i+j My.

Определитель вычисляется так:

Так же можно разложить определитель по любой строке или столбцу.

Изложенный метод применим к вычислению определителей 4-го и т.д. порядков.

Пример3. Вычислить определитель разложением по элементам первой строки

Решение: Элементы первой строки

а11 = 1, а12 = 2, а13 = - 2.

А11 = (-1) 1+1. М11==4+1=5.

М11 получили, вычеркнув первую строку и первый столбец.

А12 = (-1) 1+2. М12= - = - (8+3) = - 11.

М12 получили, вычеркнув первую строку и второй столбец.

А13 = (-1) 1+3. М13 = = 2-3 = - 1.

М13 получили, вычеркнув первую строку и третий столбец.

Окончательно

= 1.5+2. (-11) - 2. (-1) = - 15

2. Язык программирования Паскаль
2.1 Структура программы
Язык Паскаль, начиная с момента своего создания Н. Виртом в 1971г., играет особую роль м в практическом программировании, и в его обучении. С непревзойденной четкостью в нем реализованы принципы структурного программирования. Трансляторы для программ, написанных на Паскале, разработаны для различных компьютеров и в настоящее время имеют множество разновидностей. Они являются компиляторами, обрабатывающими разработанные программистами тексты программ.

Существует много версий языка Паскаль. Различия между ними порой весьма велики. Так, базовая версия Вирта имеет многократно меньше возможностей, чем версия Турбо-Паскаль 7.0. (первая, фактически - язык для обучения будущих программистов, а вторая - орудие профессиональных разработчиков прикладного программного обеспечения) Тем не менее, это версии одного языка.

Любая Паскаль - программа является текстовым файлом с собственным именем и с расширением. pas. Паскаль - программа имеет вид последовательности символов латинских и русских букв, арабских цифр, знаков операций, скобок, знаков препинания и некоторых дополнительных символов. В нем можно выделить описания данных и операторы, описывающие действия, которые надо выполнить машине над этими данными.

Схематически программа представляется в виде последовательности восьми разделов:

заголовок программы;

описание внешних модулей, процедур и функций;

описание меток;

описание констант;

описание типов переменных;

описание переменных;

описание функций и процедур;

раздел операторов.

Каждый раздел начинается со служебного слова, назначение которого зафиксировано в Паскале так, что его нельзя употреблять для других целей. Так например, описание заголовка начинается со служебного слова program, описание констант -const, описание переменных - var, раздел операторов начинается с begin. Программа заканчивается служебным словом end, после которого ставится точка. Описания величин и операторы друг от друга отделяются знаком "точка с запятой".

2.2 Описание переменных
Для обозначения величин используются имена. Они состоят из латинских букв и цифр, причем первым символом должна быть буква.

Постоянные величины (константы) чаще всего бывают числовыми или символьными. Значения символьных констант заключаются в апострофы.

Постоянные величины описываются в разделе констант по схеме:

Const <имя> = < константа>

Данные, обрабатываемые программой, могут быть различных типов (числовые, символьные, строки, массивы и т.д.). Тип определяет область допустимых значений, а также операции и функции, применяемые к величинам этого типа. В Паскале имеется несколько встроенных простых типов со стандартными именами.

Группа типов, значения каждого из которых можно перечислить в некотором списке - скалярные типы. Для них определен порядковая функция ord (x) - номер значения х в списке; функция pred (x) -значение в списке, предшествующее х, и succ (x) - значение в списке, следующее за х.

Упорядоченный тип - это тип, значения которого упорядочены в обычном смысле.

Переменные описываются в раздел описания переменных по схеме:

Var <список имен переменных>: <тип>

Имена в списке разделяются запятой. В этом разделе может быть описано несколько переменных разного типа, например:

Var a,b,c,: real; k, i: integer; p: Boolean;

Над целыми величинами (тип integer) определены арифметические операции: * (умножение), div (деление нацело), mod (вычисление остатка от деления), +, - (сложение и вычитание); операции перечислены в порядке старшинства. Целый результат дают некоторые стандартные функции (аргумент заключается в круглые скобки):

Abs (x)

Sqr (x)

Trunk (x)

Round (x)

Random (x)

-абсолютная величина целого хж

квадрат значения х;

целая часть вещественной величины х;

целое число, полученное из вещественного ч по правилу округления;

случайное целое число из интервала от 0 до х

Над вещественными величинами определены операции: *, +, -, /, а также стандартные функции, при вещественном или целом аргументе: abs (x), sqr (x), sin (x), cos (x), ln (x), sqrt (x) - квадратный корень из х, int (x) - целая часть из х, random - случайное число от 0 до 1. Указанные операции и функции дают вещественный результат.

Множество всех символов образуют символьные величины (тип char), которые являются упорядоченными.

Выражения - это конструкции, задающие правила вычисления значений переменных. В общем случае выражения строятся из переменных, констант, функций с помощью операций и скобок.

Эта роль выражения отражена в основном операторе языка - операторе присваивания. Он имеет следующий вид:

<имя переменной>: =<выражение>

Тип переменной и тип выражения должны быть согласованы (величины принадлежат к одному и тому же типу).

В Паскале можно вводить с клавиатуры числовые и символьные данные. Имеются две встроенные процедуры (подпрограммы) ввода:

1) read (< список переменных>);

2) readln (<список переменных>).

Процедура readln отличается от read только тем, что при завершении ввода курсор перемещается в начало строки.

Программа на Паскале может выводить на экран или на принтер значения числовых или символьных выражений. Имеются две процедуры вывода на экран:

1) write (<список выражений>);

2) writeln (<список выражений>).

Процедура write (x1,x2,x3,…xn) печатает на экран значения выражения из списка х1, х2,…хn. Для вывода на принтер используются те же процедуры с добавлением служебного слова lst перед списком выражений:

Пример: write (lst,' нет решений`);

2.3 Основные конструкции языка
Паскаль - это язык структурного программирования. Это значит, что программа должна выражать свои мысли очень дисциплинированно, с использованием малого числа четко оговоренных конструкций, используя как чередование их, так и вложения друг в друга. Не рекомендуется (хотя и возможно) использовать оператор перехода goto.

Реализация последовательности действий (т.е. структуры следования) выполняется с помощью составного оператора:

Begin <последовательность операторов> end

Раздел операторов в программе всегда является составным оператором. Служебные слова begin и end часто называют операторными скобками.

Для реализации развилки в Паскале предусмотрены два оператора: условный оператор и оператор варианта (выбора). Они предназначены для выделения из составляющих их операторов одного, который и выполняется.

Структура и действие условного оператора таковы:

IF < логическое выражение>

Then <оператор 1 >

Else < оператор 2>

Условный оператор может быть неполным, т.е. не содержать часть “else <оператор 2>". В этом случае, если значение логического выражения равно false, условный оператор не вызывает никаких действий.

Оператор варианта имеет следующую форму:

Case <выражение> of

<список констант 1>: <оператор 1>;

<список констант 2>: <оператор 2>;

………………………………………

<список констант n>: <оператор n>;

end;

Выражение, стоящее между служебными словами case и of, должно иметь значение ординального типа. Любой список констант может состоять из одной константы.

Оператор варианта вычисляет значение выражения, записанного после case. Если его значение совпадает с одной из констант в некотором списке, то выполняется оператор, стоящий после этого списка. Если значение выражения не совпало ни с одной константой во всех вариантах, то оператор варианта ничего не делает.

Для реализации циклов в Паскале имеются три оператора. Если число повторений известно заранее, то удобно воспользоваться оператором цикла с параметром. В других случаях следует использовать операторы цикла с предусловием (цикл "пока") или с постусловием (цикл "до").

Цикл с предусловием является наиболее мощным в Паскале. Другие операторы цикла можно выразить через него. Его форма такова:

While < логическое выражение> do <оператор >

Действие: вычисляется значение логического выражения. Если оно равно true, то выполняется оператор, после чего снова вычисляется значение логического выражения, в противном случае действие заканчивается.

Оператор цикла с постусловием имеет форму:

Repeat <последовательность операторов >

Until < логическое выражение>

Действие: выполняется последовательность операторов. Далее вычисляется значение логического выражения. Если оно равно true, то действие заканчивается, в противном случае снова выполняется последовательность операторов цикла и т.д.

Оператор цикла с параметром предусматривает повторное выполнение некоторого оператора с одновременным изменением по правилу арифметической прогрессии значения управляющей переменной (параметра) этого цикла. Оператор цикла с параметром имеет две формы.

Форма 1:

For < параметр>: = < выражение 1 > to < выражение 2 > do < оператор>

Параметр, выражение 1, выражение 2 должны быть одного ординального типа. Параметр в этом цикле возрастает. Действие эквивалентно действию следующего составного оператора:

Begin

< параметр >: = <выражение 1 >;

while < параметр> <= < выражение 2> do

begin

< оператор>;

<параметр >: = succ (<параметр >)

end

end.

Если в этом описании отношение <= заменить на >=, а функцию succ на pred, то параметр в цикле будет убывать, в этом случае цикл с параметром принимает форму 2.

Форма 2:

For < параметр>: = < выражение 1 > downto < выражение 2 > do < оператор>

2.4 Структуры данных
В Паскале кроме простых типов данных: real, integer, boolean, byte, char, программист по своему желанию может определить новый тип путем перечисления его элементов - перечисляемый тип, который относится к простым ординальным типам.

Описание перечисляемого типа выполняется по схеме:

Type < имя типа> = <список имен >

Например, type operator = (plus, minus, multi, divide);

Интервальный тип - это подмножество другого уже определенного ординального типа, называемого базовым. Интервал можно задать в разделе типов указанием наименьшего и наибольшего значений, входящих в него и разделяющихся двумя последовательными точками, например:

Type days = (mon, tue, wed, thu, fri, sat, sun);

Workdays= mon. fri;

Index=1. .30;

Операции и функции - те же, что и для базового типа. Использование интервальных типов в программе позволяет экономить память и проводить во время выполнения программы контроль присваивания.

Естественно и часто очень удобно группировать однотипные данные в последовательности - массивы, строки символов, объединять разнотипные данные в одном и том же объекте в виде записей. Значительное удобство представляются пользователю в Паскале при организации однотипных величин в виде множества с соответствующим набором операций: объединения, пересечения и т.д. Последовательность однотипных величин переменной длины можно представить в Паскале в виде файла данных и хранить на внешних носителях, используя его в разных программах.

Массив -это последовательность, состоящая из фиксированного числа однотипных элементов. Все элементы массива имеют общее имя и различаются индексами. Индексы можно вычислять, их тип должен быть ординальным. В описании массива используются служебные слова array и of. В описании массива указывается тип его элементов и типы их индексов.

2.4 Процедуры и функции
В Паскале подпрограммы называются процедурами и функциями и описываются в разделе с тем же названием.

Все имена, описанные в программе до процедуры, действуют во всей программе и в любой ее подпрограмме. Они называются глобальными, в отличии от локальных имен, описанных в процедуре и действующих лишь в ней.

Данные для обработки могут передаваться процедуре через глобальные имена или через аргументы процедуры. В процедуре каждый аргумент имеет свое имя - формальный параметр, описываемый в заголовке процедуры по схеме

Procedure < имя > (<список формальных параметров >)

Описание формальных параметров может иметь вид

<список имен >: < тип> или var < список имен>: < тип>

Оператор вызова процедуры имеет вид

< имя процедуры> (< список выражений>);

Указанные выражения называются фактическими параметрами. Их список должен точно соответствовать списку описаний формальных параметров процедуры. Во время вызова процедуры каждому параметру-значению присваивается значение соответствующего фактического параметра и поэтому их используют для передачи входных данных. Параметры - переменные используются для представления результатов процедуры.

Функция - это подпрограмма, определяющая единственное скалярное, вещественное или строковое значение. Отличия подпрограммы - функции от процедуры:

заголовок функции начинается со служебного слова function и заканчивается указанием типа значения функции:

function < имя> (список описаний формальных параметров): < тип>;

раздел операторов функции должен содержать хотя бы один оператор присваивания имени функции;

обращение к функции - не оператор, а выражение вида:

< имя функции> (< список фактических параметров>)

3. Описание программы

3.1 Работа программы
Для решения систем линейных уравнений методом Гаусса и матричным методом создана программа на языке Паскаль. Программа запрашивает исходные данные (рис.1):

матрицу коэффициентов при неизвестных х;

столбец свободных членов

способ решения системы линейных уравнений - вариант 1 или 2.

Рисунок 3.1 Ввод исходных данных

В зависимости от выбранного вариант в программе происходит решение системы уравнений методом Гаусса (рис.2) или матричным методом (рис.3) с выдачей на экран результатов:

Рисунок 3.2 Результаты расчетов системы линейных уравнений методом Гаусса.

Рисунок 3.3 Результаты расчетов системы линейных уравнений матричным методом.

Программа состоит из 7 подпрограмм - 6 процедур и одной функции:

процедура Gauss обеспечивает решение системы линейных уравнений по методу Гаусса;

процедура matrica обеспечивает решение системы линейных уравнений матричным методом;

процедура PrintMatr2 предназначена для выдачи на экран исходной и обратной матрицы;

процедура MultString предназначена для умножения строк матрицы на число r;

процедура AddStrings прибавляет к i1-ой строке матрицы i2-ю, умноженную на число r;

процедура MultMatr предназначена для умножения матриц.

Функция Sign используется для изменения знака на противоположный при вычислении обратной матрицы.

Программа настроена на решение системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными. Чтобы решить систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными необходимо в программе изменить значение константы N с N=3 на N =2 (рис.4).

Рисунок 3.4. Фрагмент программы с описанием констант и переменных.

3.2 Блок-схема программы

Заключение
В данной курсовой работе рассмотрены математические методы решения систем линейных уравнений: матричный метод и метод Гаусса, приводятся основные конструкции языка Паскаль. Рассмотренные теоретические вопросы дают возможность создания программы на Паскале для решения систем линейных уравнений. В курсовой работе приводится текст данной программы, рассматривается структура программы, анализируются все подпрограммы. Данная программа может быть использована в различных областях, где требуется решение систем линейных уравнений.

Список используемых источников и литературы

1. А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер "Информатика", Москва, ACADEMA, 2000 г.

2. "Турбо Паскаль 7.0", Киев, Торгово-издательское бюро BHV, 1997г.

3. С.А. Немнюгин, "Турбо ПАСКАЛЬ", Практикум, Питер, 2002г.

Приложение
Текст программы

"Решение систем линейных уравнений матричным способом и методом Гаусса"

Program Lin_yravneniya;

uses crt;

const N=3;

eps=0.00001; { all numbers less than eps are equal 0 }

type matr=array [1. n,1. n] of real;

mas=array [1. n] of real;

var

i,j: integer;

b,x: mas;

variant: byte;

a,c: matr;

dt: real;

imx,np: integer;

{*** печать исходной и обратной матрицы*** }

procedure PrintMatr2 (m,m1: matr; n,nz,nd: integer);

var i,j: integer;

begin

for i: =1 to n do

begin

if (i=1) then write (np: 2,': ')

else write (' ');

for j: =1 to n do

write (m [i,j]: nz: nd); write (' ');

for j: =1 to n do

write (m1 [i,j]: nz: nd);

writeln;

end;

inc (np);

end;

procedure MultString (var a,b: matr; i1: integer; r: real);

var j: integer;

begin

for j: =1 to n do

begin

a [i1,j]: =a [i1,j] *r;

b [i1,j]: =b [i1,j] *r;

end;

procedure AddStrings (var а,b: matr; i1, i2: integer; r: real);

{ процедура прибавляет к i1 строке матрицы а i2-ю умноженную на r}

var j: integer;

begin

for j: =1 to n do

begin

a [i1,j]: =a [i1,j] +r*a [i2,j] ;

b [i1,j]: =b [i1,j] +r*b [i2,j] ;

end;

procedure MultMatr (a,b: matr; var c: matr);

var i,j,k: byte;

s: real;

begin

for i: =1 to n do

for j: =1 to n do

begin

s: =0;

for k: =1 to n do

s: =s+a [i,k] *b [k,j] ;

c [i,j]: =s;

end;

function sign (r: real): shortint;

begin

if (r>=0) then sign: =1 else sign: =-1;

end;

{***************************************************}

{** вычеркивание из матрицы строки и столбца **}

procedure GetMatr (a: matr; var b: matr; m, i,j: integer);

var ki,kj,di,dj: integer;

begin

di: =0;

for ki: =1 to m-1 do

begin

if (ki=i) then di: =1;

dj: =0;

for kj: =1 to m-1 do

begin

if (kj=j) then dj: =1;

b [ki,kj]: =a [ki+di,kj+dj] ;

end;

{*** метод Гаусса *******}

procedure gauss (a: matr; b: mas; var x: mas; n: integer);

Var k: byte;

m, s: real;

begin

{ приведение к треугольному виду}

For k: =1 to N-1 do

For i: =k+1 to n do

begin

m: =a [i,k] /a [k,k] ;

a [i,k]: =0;

For j: =k+1 to N do

a [i,j]: =a [i,j] -m*a [k,j] ;

b [i]: =b [i] -m*b [k] ;

end;

{расчет неизвестных х в обратном порядке}

x [n]: =b [n] /a [n,n] ;

writeln;

writeln ('Вывод результатов решения системы уравнений методом Гаусса');

writeln ('x [',n,'] =',x [n]: 6: 2);

for i: = (n-1) downto 1 do

begin s: =0;

For j: =i+1 to n do

s: =s-a [i,j] *x [j] ;

x [i]: = (b [i] +s) /a [i, i] ;

writeln ('x [', i,'] =',x [i]: 6: 2);

end;

{*** матричный способ ***}

procedure matrica (a: matr; y: mas; n: integer);

var z,a0: matr;

imx,np: integer;

s: mas;

begin

for i: =1 to n do

begin

for j: =1 to n do z [i,j]: =0;

z [i, i]: =1;

end;

for i: =1 to n do

for j: =1 to n do

a0 [i,j]: =a [i,j] ;

for i: =1 to n do

begin

{ к i-ой строке прибавляем (или вычитаем) j-ую строку

взятую со знаком i-того элемента j-ой строки. Таким образом,

на месте элементова a [i, i] возникает сумма модулей элементов i-того

столбца (ниже i-ой строки) взятая со знаком бывшего элемента a [i, i],

равенство нулю которой говорит о несуществовании обратной матрицы }

for j: =i+1 to n do

AddStrings (a,z, i,j,sign (a [i, i]) *sign (a [j, i]));

{ PrintMatr (a,b,n,6,1); }

{ прямой ход }

if (abs (a [i, i]) >eps) then

begin

MultString (a,z, i,1/a [i, i]);

for j: =i+1 to n do

AddStrings (a,z,j, i,-a [j, i]);

{ PrintMatr (a,b,n,6,1); }

end

else

begin

writeln ('Обратной матрицы не существует. ');

halt;

end

end;

{обратный ход: '); }

if (a [n,n] >eps) then

begin

for i: =n downto 1 do

for j: =1 to i-1 do

begin

AddStrings (a,z,j, i,-a [j, i]);

end;

{ PrintMatr (a,b,n,8,4); }

end

else writeln ('Обратной матрицы не существует. ');

MultMatr (a0,z,a);

writeln ('Начальная матрица, обратная к ней матрица: ');

PrintMatr2 (a0,z,n,7,3);

{** умножение обратной матрицы на столбец свободных членов **}

for i: =1 to n do s [i]: =0;

for i: =1 to n do

for j: =1 to n do

s [i]: =s [i] +z [i,j] *y [j] ;

writeln ('Вывод результатов решения системы уравненй матричным способом');

for i: =1 to n do write (' ', s [i]: 5: 2);

end;

begin {***** тело программы ******}

clrscr;

writeln ('ввод матрицы коэффициентов при неизвестных х');

for i: =1 to N do

for j: =1 to N do

begin

write (' введите a [', i,',',j,'] => ');

read (a [i,j]);

end;

writeln ('ввод столбца свободных членов');

for i: =1 to N do

begin

write (' введите b [', i,'] => ');

read (b [i]);

end;

writeln ('введите вариант ');

writeln (' 1 - решение системы линейных уравнений методом Гаусса ');

write (' 2 - решение системы линейных уравнений матричным методом => ');

readln (variant);

case variant of

1: gauss (a,b,x,n);

2: matrica (a,b,n);

else writeln ('неверно указан вариант');

end;

end.