Аналитическое выражение оптимального программного управляющего воздействия u* (t), переводящее ОУ из начального состояния в конечное, за конечный интервал времени t Є [0, tk] по оптимальной траектории

x* (t) = [x1* (t) x2* (t)] Т.

Примечание: f (t) = 0.

Построить временные диаграммы: u* (t), x1* (t), x2* (t) и фазовую траекторию.

Ввести возмущающее воздействие f (t) и произвести моделирование оптимальной СУ. Построить временные диаграммы u* (t), x1* (t), x2* (t) и фазовую траекторию.

Примечание: амплитуду a выбрать произвольно в разумных пределах, а частоту щ0 выбрать из интервала [ (5ч10) ·].

Моделирование СУ производить с помощью пакета MATLAB, программу моделирования представить в отчете.

Сделать выводы.

Выполнение работы:

1) Математическая модель ОУ имеет вид:

Составим выражение расширенного функционала:

Определяем все частные производные по всем координатам и получаем систему уравнений Эйлера-Лагранжа в виде:

Перепишем систему в форме Коши:

Составляем матрицу коэффициентов этой системы:

Определяем корни характеристического полинома:

Общий вид уравнений искомых экстремалей определяется однозначно, как:

Из граничных условий (1) определяем значения постоянных интегрирования:

Уравнение оптимального программного управления определяем в силу исходного ОУ с учетом выражений оптимальных программных траекторий в виде:

2) Моделирование оптимальной системы программного управления без учета возмущающего воздействия:

Рис.1. Листинг программы моделирования системы без учета возмущающего воздействия.

Рис.2. Оптимальное программное воздействие u (t).

Рис.3. Переходная характеристика х1 (t).

Рис.4. Переходная характеристика х2 (t).

Рис.5. Фазовая траектория.

3) Моделирование оптимальной системы программного управления с учетом возмущающего воздействия:

Рис.6. Листинг программы моделирования системы с учетом возмущающего воздействия.

Рис.7. Оптимальное программное воздействие u (t).

Рис.8. Переходная характеристика х1 (t).

Рис.9. Отклонение истинной переходной характеристики от программной е (t).

Рис.10. Переходная характеристика х2 (t).

Рис.11. Фазовая траектория.

Выводы по работе
В данной работе определялось аналитическое выражение оптимального программного управляющего воздействия по квадратичному критерию качества. Из графиков рис.3. - рис.5. видно, что характер процесса - апериодический, установившаяся ошибка равна нулю, процесс перевода ОУ из начального состояния х1 (0) = х2 (0) = 0 в конечное х1 (0,9) = 0,3, х2 (0,9) = 0 происходит по оптимальной траектории, доставляя экстремум функционалу в заданный промежуток времени t = 0,9 c.

При действии на систему возмущения (3) наблюдали на рис.8. - рис.11. отклонения истинных переходных характеристик от программных, причем на рис.9. представлен график .