В математике существует большое количество иррациональных (несоизмеримых) чисел, т. е. обозначающих длину отрезка несоизмеримого с единицей масштаба. Ряд из них широко используется как в математике, так и в др. областях.

Например: Число = 2R/D=3,14159… , которое представляет отношение длины окружности к ее диаметру. Число e = 2,71828… , при этом . Логарифмы с основанием e удобны для математических расчетов. Число 2 =1,44… , которое представляет отношение диагонали к стороне квадрата и ряд других чисел.

Особое иррациональное число = (1+5)/2 = 1,61803, которое называется золотая пропорция или золотое сечение и является результатом решения задачи деления отрезка в крайнем и среднем отношении (рис. 1)

A C B

о o o

Рис. 1 Деление отрезка

Если задан отрезок AB то необходимо найти такую точку C, чтобы выполнялось условие AB/CB = CB/AC.

Обозначим: x = CB/AC; (CB+AC)/CB = 1+1/x = x.

При этом x2-x-1 = 0. Корни этого уравнения равны: x1,2=(15)/2.

Положительный корень называется золотой пропорцией , а точка C - золотым сечением. Золотая пропорция обладает рядом уникальных свойств.

Пропорция 1,61... использовалась в архитектуре, художественных произведениях, музыке с античных времен. С этим числом связан ореол мистики, таинственности, божества и т.д.

В последнее десятилетие эта пропорция нашла свое применение в ЭВМ, АЦП-ЦАП, измерениях и т. д.

1.2 ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

С золотым сечением тесно связаны числа Фибоначчи открытые итальянским математиком Леонардо из Пизы (Фибоначчи) в XIII веке, которые вычислены по формуле:

(1)

Эти числа представляют ряд: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

Отношение соседних чисел Фибоначчи 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 ... в пределе стремится к золотой пропорции

. (2)

Числа Фибоначчи обладают еще рядом полезных свойств. Например, остатки от деления чисел Фибоначчи на 2 образуют последовательность: 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ... и т. д.

Обобщенные числа Фибоначчи или p-числа Фибоначчи вычисляются по рекуррентной формуле:

(3)

Где p = 0, 1, 2, 3, … . При р = 0 число 0(n) совпадает с двоичными разрядами 2n (табл. 1) .

Таблица 1

n	0	1	2	3	4	5
0(n)	1	2	4	8	16	32

При р = 1 число 0(n) совпадает с обычным рядом Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

При р = число 0(n) = 1 для любого n 0 равно:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...

1.3 КОДЫ ФИБОНАЧЧИ

Любое натуральное число N можно представить с помощью p-чисел Фибоначчи

(4)

где: ai {0, 1} - двоичная цифра i-го разряда; p(i) - вес i-го разряда;

Любое натуральное число N можно представить также следующим способом:

(5)

Такое представление чисел N называется p-кодом Фибоначчи. Каждому p {0, 1, 2, …, } соответствует свой код, т. е. их число бесконечно.

При p = 0 p -код Фибоначчи совпадает с двоичным кодом.

Для 1-кода Фибоначчи кодовые комбинации имеют вид:

Таблица 2

N	KK	Вес порядка
		5	4	3	2	1
0	A0	0	0	0	0	0
1	A1	0	0	0	0	1
1	A2	0	0	0	1	0
2	A3	0	0	0	1	1
2	A4	0	0	1	0	0
3	A5	0	0	1	0	1
3	A6	0	0	1	1	0
4	A7	0	0	1	1	1
3	A8	0	1	0	0	0
4	A9	1	0	0	0	1
4	A10	0	1	0	1	0
5	A11	0	1	0	1	1
5	A12	0	1	1	0	0
6	A13	0	1	1	0	1
6	А14	0	1	1	1	0
7	А15	0	1	1	1	1

N	KK	Вес порядка
		5	4	3	2	1
5	A16	1	0	0	0	0
6	A17	1	0	0	0	1
6	А18	1	0	0	1	0
7	A19	1	0	0	1	1
7	A20	1	0	1	0	0
8	A21	1	0	1	0	1
8	A22	1	0	1	1	0
9	A23	1	0	1	1	1
8	A24	1	1	0	0	0
9	A25	1	1	0	0	1
9	A26	1	1	0	1	0
10	A27	1	1	0	1	1
10	A28	1	1	1	0	0
11	A29	1	1	1	0	1
11	A30	1	1	1	1	0
12	А31	1	1	1	1	1

Как видно из таблицы 5 разрядным 1-кодом Фибоначчи можно закодировать 13 натуральных чисел от 0 до 12, при этом каждому числу соответствует множество комбинаций.

Коды Фибоначчи образуют соответствующую систему счисления с набором арифметических операций.

Сложение: Вычитание:

0+0 = 0; 0- 0 = 0;

0+1 = 1; 1 -1 = 0;

1+0 = 1; 1 -0 = 1;

1+1 = 111; 10-1 = 1;

1+1 = 1001; 110 -1 = 11;

1000-1 = 111.

При сложении 2-х единиц может быть:

1(n)+ 1(n)= 1(n)+ 1(n-1)+ 1(n-2) т. е. равно 1 и перенос 1 в два младших разряда.

1(n)+ 1(n)= 1(n+1)+ 1(n-2) т. е. равно 0 и перенос 1 в два разряда - предыдущий и последующий.

Коды Фибоначчи обладают рядом полезных свойств (например, избыточность и т. д.), позволяющих строить быстродействующие и помехоустойчивые АЦП (“фибоначчевые” АЦП), реализующих специальные алгоритмы преобразования. Коды Фибоначчи используются для диагностики ЭВМ, в цифровых фильтрах для улучшения спектрального состава сигнала за счет перекодировки и др. областях.

2. ДВОИЧНЫЙ ОТРАЖЕННЫЙ КОД. КОД ГРЕЯ

Код Грея отличается от двоичного кода тем, что при переходе к следующей кодовой комбинации изменяется только один элемент кодовой комбинации (табл. 3).

Если при передаче сообщений с помощью кода Грея одновременно изменяется несколько разрядов кода, то это свидетельствует об ошибке, в этом состоит обнаруживающая способность кода Грея.

Код Грея, не взвешенный и непригоден для вычислительных операций без предварительного перевода в двоичный код.

Таблица 3

Число	Дв. Код	Код Грея
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	0000 0001 0011 0010
		0110 0111 0101 0100
		1100 1101 1111 1110
		1010 1011 1001 1000

Схема кодера Грея приведена на рис. 2. Как видно из кодер Грея реализуется с помощью регистра RG, сдвигового регистра SRG и сумматора по модулю 2 SM2.

Правила перехода из кода Грея в двоичный код. Существует несколько способов перехода.

1. Используется следующий алгоритм:

an-1 = bn-1;

ai = ai+1 bi .

где an-1 - значение старшего разряда двоичного числа.

Пример 1. Дана запись числа кодом Грея bi = 10101 b4 b3 b2 b1 b0 получить двоичную запись. Используя приведенные выше формулы, получим

a4 = b4 = 1 ;

a3 = a4 b3 =1 0 = 1;

a2 = a3 b2 =1 1 = 0;

a1 = a2 b1 =0 0 = 0;

a0 = a1 b0 =0 1 = 1;

ai = a4 a3 a2 a1 a0 = 11001

2. Переход осуществляется по алгоритму ai = - т. е. как сумма по модулю 2 всех предыдущих значений

Пример 2. Дана запись числа кодом Грея bi = 11001. При этом двоичная запись равна ai = 10101;

Правила перехода из двоичного кода и кода Грея к десятичной записи

Для двоичного кода:

Для кода Грея:

для нечетных “1” знак “+”, для четных “1” знак “-”.

Пример 3. Дана запись числа двоичным кодом ai = .

При этом десятичная запись равна

a10 = 125 + 124 + 122 +121 = 32+16+4+2 = 54.

Пример 4. Дана запись числа двоичным кодом ai =110110. Получить код Грея и преобразовать его в десятичную запись.

Получим код Грея

ai = 1 0 1 1 0

1 1 0 1 1 0

bi = 1 0 1 1 0 1.

Получим десятичную запись

b10 = 1(26-1)- 1(24-1)+ 1(23-1)- 1(21 -1) = 63-15+7-1=54.

Достоинство кода Грея: Простота перевода в двоичный код и обратно, а также к десятичной записи.

Применение кода Грея: Код Грея, чаще всего, используется для надежного перехода от аналогового представления информации к цифровой и обратно, т. е. в аналого-цифровых преобразователях (АЦП).

Список Литературы

1. Вернер М. Основы кодирования. -- М.: Техносфера, 2004.

2. Зюко А.Г. , Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. М: Радио и связь, 2001 г. -368 с.

3. Кнут Дональд, Грэхем Роналд, Паташник Орен Конкретная математика. Основание информатики -- М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. -- С. 703.

4. Лидовский В.И. Теория информации. - М., «Высшая школа», 2002. - 120с.

5. Метрология и радиоизмерения в телекоммуникационных системах. Учебник для ВУЗов. / В.И.Нефедов, В.И. Халкин, Е.В. Федоров и др. - М.: Высшая школа, 2001 г. - 383с.

6. Рудаков А. Н. Числа Фибоначчи и простота числа 2127-1 // Математическое Просвещение, третья серия. -- 2000. -- Т. 4.

7. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. -М.: Радио и Связь, 1984.

8. Цапенко М.П. Измерительные информационные системы. - . - М.: Энергоатом издат, 2005. - 440с.