Інтеграли зі змінними границями

Інтеграли зі змінними границями

19

Постановка задачі

За допомогою квадратурних формул обчислити визначений інтеграл зі мінною границею

(1)

Побудувати сітку, і скласти таблицю значень інтеграла на цій сітці fn=f(x)

За квадратурною формулою високої точності. Тоді

xnxxn+1

В С Т У П

В практичних розрахунках, у т.ч. в задачах механіки, нерідко виникає необхідність обчислення визначених інтегралів

де під інтегральна функція f(x) неперервна відрізку [a,b], а вагова функція (x) неперервна на інтервалі (a,b).

До чисельного знаходження інтеграла звертаються тоді, коли його або неможливо виразити через елементарні функції, або підінтегральна функція задана таблично, а також коли внаслідок інтегрування приходять до незручного для використання виразу. Формули чисельного знаходження визначених інтегралів називаються квадратурними формулами. Побудова квадратурних формул ґрунтується на заміні складної підінтегральної функції деякою більш простою, інтеграл від якої легше обчислити. Виникаюча при цьому похибка називається похибкою квадратурної формули. Най простіші квадратурні формули можуть бути отримані із простих геометричних міркувань.

1. Постановка задачі чисельного інтегрування

Нехай потрібно знайти визначений інтеграл

(1.1)

де функція f(x) неперервна відрізку [a,b], а вагова функція (x) неперервна на інтервалі (a,b). Тоді f(x) наближають такою функцією (x;C) від якої інтеграл легко взяти в елементарних функціях. Завдяки лінійності такої апроксимації відносно параметрів ci функцію можна записати так:

(1.2)

де r(x) - залишковий член апроксимації. Підставляємо (1.2) в (1.1), отримаємо загальну формулу чисельного інтегрування - квадратурну формулу:

;

де хi - вузли, сi - ваги, R - залишковий член. Інтеграл приблизно заміняється сумою, схожою на інтегральну суму, причому вузли та коефіцієнти цієї суми не залежать від f(x).

2. Квадратурні формули.

2.1. Формула прямокутників.

Припустимо, що fC2[-h/2,h/2], h>0 .

(2.1.1)

де f0=f(0), тобто площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції f(x) , апроксимується площею прямокутника, висота якого дорівнює значенню f(x) в середній точці трапеції (мал. 2.1.1).

мал. 2.1.1. Формула прямокутників

Знайдемо залишковий член , тобто похибку формули (2.1.1) . Нехай

(2.1.2)

Тому що F(0)=0, F/(0)=f0, F//(0)=f/0, F///(x)=f//0,

то відповідно до формули Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа маємо

(2.1.3)

де - , + - деякі точки , -h/-<+<h/2.

Функція F(x) є первісної для f(x). Тому для інтеграла, що стоїть в лівій частині наближеної рівності (2.1.1), з формули Ньютона-Лейбница з розрахунком (2.1.3) випливає наступне співвідношення

Ззвідси одержуємо формулу прямокутників із залишковим членом:

(2.1.4)

2.2. Формула трапецій.

Нехай fC2[0,h], h>0

(2.2.1)

де f0=f(0), f1=f(h) тобто інтеграл приблизно заміняється площею заштрихованої трапеції, показаної на малюнку (мал. 2.2.1).

мал. 2.2.1. Формула трапецій.

Знайдемо залишковий член, тобто похибку формули (2.2.1). Виразимо f1 та F1=F(h) де F - функція (2.1.2), по формулі Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі (*):

(*)

(2.2.2)

(2.2.3)

Згідно (2.2.1) маємо

(2.2.4)

Відокремивши в правій частині (2.2.3) доданок hf0/2 і замінивши його вираженням (2.2.4), з урахуванням того, що

знаходимо

Перетворимо тепер другий доданок у правій частині, використовуючи узагальнену теорему про середнє. Тому що (h-t)t0, t[0,t] то за теоремою

де [a,b] - деяка точка . Підставляючи отримане в (*), приходимо до формули трапецій із залишковим членом :

(2.2.5)

2.3. Формула Сімпсона .

Припустимо, що fC4[-h,h]. Тоді інтеграл

наближеного заміняємо площею заштрихованої криволінійної трапеції, обмеженою зверху параболою, що проходить через точки (-h,f-1), (0,f0), (h,f1), де fi=f(ih) (мал. 2.3.1)

мал. 2.3.1 Формула парабол (Сімпсона)

Зазначена парабола задається рівнянням

у цьому неважко переконатися, поклавши x=-h, x=0, x=h (її можна також одержати, побудувавши інтерполяційний багаточлен другого ступеня і приводячи подібні ). Звідси знаходь

Таким чином, формула Сімпсона , називають також формулою парабол, має вид

(2.3.1)

Покладемо F1=F(h), де F функція (2.1.2). Оскільки F(0)=0, F(k)(x)=

f(k-1 ) (x), 1k5 то згідно формули Тейлора з залишковим членом в інтегральній формі маємо

Звідси одержуємо

(2.3.2)

тому що інші члени взаємно знищуються.

Оскільки , t[0,h] то застосовуючи до інтеграла (2.3.2) узагальнену теорему про середнє, знаходимо

(2.3.3)

де [0,h], [-h,h] - деякі точки. Приймаючи до уваги, що

з (2.3.2), (2.3.3) приходимо до формули

(2.3.4)

тобто до формули Сімпсона з залишковим членом.

3. Чисельні методи знаходження визначеного

Інтеграла зі змінною верхньою межею

У деяких випадках необхідно обчислити такі інтеграли

Можна, звичайно, розглядати його для кожного значення верхньої границі х як інтеграл зі сталими границями і обчислювати за однією з квадратурних формул, що невигідно у випадку великої кількості значень x. Краще вибрати деяку сітку і скласти таблицю значень інтеграла на цій сітці Fn=F(x) за квадратурної формули високої точності. Тоді

(3.1)

причому останній інтеграл можна одчислювати за простими квадратурними формулами.

Окрім того, маючи таблицю F(xn), можна знаходити F(x) інтерполяцією за цією таблицею. Природно, маючи і похідну інтеграла F (x)=(x)f(x). Краще скористатись інтерполяційним поліномом Ерміта.

4. Опис обчислювального алгоритму

При реалізаціі алгоритму обчислення визначеного інтеграла зі змінними границями інтегрування використовуються процедури та функцiї, для того щоб скоротити витрати машинного часу при обчислюваннi, та для компактностi программи. Программа для знаходження написана на мовi Delphi5, стан пограмми - вiдлажена.

5. Обговорювання результатів

Таблиця 1

Таблиця 1 була отримана при наступних вхідних даних:

Кількість вузлів при побудові таблиці значень інтегралу (1) =20

Кількість вузлів при застосуванні формули трапецій =20

Кількість вузлів при застосуванні формули Сімпсона =20