eps - относительная погрешность интегрирования. Вычисления прекращаются, когда , где - значение i-й компоненты вектора зависимых переменных при t=tk для количества разбиений отрезка интегрирования m.

Начальные шаги делаются по методу Рунге-Кутта.

Применить эту функцию для интегрирования дифференциального уравнения 3-его порядка y(3)+2y''+3y'+y=5+x2 в интервале xО[0;2] с шагом ?x=0, и начальными условиями x = 0; y(0) = 1; y'(0) = 0.1; y''(0) = 0.

Решение задачи по методу Адамса

Для запуска экстраполяционного метода Адамса требуется 4 начальных значения функции. Одно значение уже задано, а остальные получаются по методу Рунге-Кутта 4 порядка. После вычисления значения в конце отрезка происходит вычисление относительной погрешности (из текущих и ранее полученных с шагом h значений функции) и сравнение её с заданным значением. Если полученная погрешность меньше, чем заданная, то считается, что задача выполнена и происходит возврат в вызывающую программу с полученным значением функции. Если же нет - то уменьшается в 2 раза шаг и весь процесс, начиная с метода Рунге-Кутта, повторяется вновь (для вычисления новых значений функции). Так продолжается до тех пор, пока полученное значение погрешности не станет меньше чем заданное.

Для работы программы необходима функция вычисления правых частей системы дифференциальных уравнений. Это функция func (double *y, double *ys, double x). Т. к. в задаче требуется решить уравнение y(3)+2y''+3y'+y=5+x2, составляем систему дифференциальных уравнений первого порядка. Выглядит она так:

При каждом вычислении левых частей этой системы происходит дифференцирование y, y' и y'', т. е. вычисление соответственно новых значений y', y'', y'''.

Ну, а если переложить это всё в программу на Си, то получится функция func (смотри листинг 17 задачи).

Блок-схема функции main из программы 17.c

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Систем управления

Челябинск, 2004

Блок-схема функции Adams из программы 17.c

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Систем управления

Челябинск, 2004

Листинг программы 17.c

// Задача 17. Численное интегрирование системы дифференциальных уравнений

// методом Адамса. Программа рассчитана на компиляцию в Micro$oft C 6.00

// или Borland C 3.1+

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

void func (double *y, double *ys, double t)

{ // функция вычисления правых частей уравнений

ys[0] = y[1]; // ys[1]-первая производная; ys[2]-вторая и т.д.

ys[1] = y[2]; // t-независимый аргумент

ys[2] = 5 + t * t - y[0] - 3. * y[1] - 2. * y[2];

}

void Adams (

void f (double *y, double *ys, double x),

// Функция вычиления правых частей системы

double *y, // Массив размера n значений зависимых переменных

int n, // Массив размера n значений производных

double tn, // Начало интервала интегрирования

double tk, // Конец интервала интегрирования

int m, // Начальное число разбиений отрезка интегрирования

double eps) // Относительная погрешность интегрирования

{

double *k1, *k2, *k3, *k4; // Для метода Рунге-Кутта

double *q0, *q1, *q2, *q3; // Значение производных Для метода Адамса

double *ya; // Временный массив

double *y0, *y1, *y2, *y3; // Значения функции для метода Адамса

double h; // Шаг интегрирования

double xi; // Текущее значение независимой переменной

double eps2; // Для оценки погрешности

double dq2, dq1, dq0, d2q1, d2q0, d3q0; // приращения

int flag = 0; // 0, пока идёт первый просчёт

int i, j; // Индексы

if (m < 4) m = 4; // Минимум 4 отрезка

if (tn >= tk)

{ printf ("\nНеправильные аргументы\n");

abort (); // Неправильные аргументы

}

// Выделяем память для массивов с переменными

if ((k1 = malloc ((4 + 4 + 4 + 1) * n * sizeof (double))) == 0)

{ printf ("\nОшибка распределения памяти\n");

abort (); // Прервать, если не удалось

}

// Распределяем память между массивами:

// Для метода Рунге-Кутта 4 порядка

k2 = k1 + n; k3 = k2 + n; k4 = k3 + n;

// 4 пердыдущих значения функции

y0 = k4 + n; y1 = y0 + n; y2 = y1 + n; y3 = y2 + n;

// Для временного массива сбора данных

ya = y3 + n;

// Для метода Адамса

q0 = ya + n; q1 = q0 + n; q2 = q1 + n; q3 = q2 + n;

h = (tk - tn) / m; // Шаг

eps = fabs (eps); // Абсолютное значение погрешности

start: // Отсюда начинаются вычисления

xi = tn; // Начало промежутка

// Вычисляем значения функции y0...y3, т.е. y[i-3] ... y[0]

// Первое значение системы уравнений уже дано: y ...

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// - Метод Рунге-Кутта 4 порядка - //

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

for (j = 0; j < n; j++) y0[j] = y[j]; // Копируем его в y0

f (y0, q0, xi); // Заполняем q0, основываясь на значениях из y0

for (j = 0; j < n; j++) q0[j] *= h; // Делаем q0

xi += h; // Следующий шаг

// ... а остальные 3 добываем с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка.

for (i = 0; i < 3; i++) // i - КАКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УЖЕ ЕСТЬ

{ // А ВЫЧИСЛЯЕМ ЗНАЧЕНИЯ Y[i+1]!!!!

// Сначала нужны коэффициенты k1

// Элемент y[i, j] = y0 + (i * n) + j = y0[i * n + j]

f (&y0[i * n], k1, xi); // Вычислим f(xi, yi) = k1 / h

// И для каждого дифференциального уравнения системы проделываем

// операции вычисления k1, а также подготовки в ya аргумента для

// вычисления k2

for (j = 0; j < n; j++)

{

k1[j] *= h; // Вычислим наконец-то k1

ya[j] = y0[i*n+j] + k1[j] / 2.;

// И один из аргументов для функции

} // вычисления k2

f (ya, k2, xi + (h / 2.)); // Вычислим f(xi,yi) = k2 / h

for (j = 0; j < n; j++)

{ // Вычислим наконец-то k2

k2[j] *= h;

ya[j] = y0[i*n+j] + k2[j] / 2.; // И один из аргументов для функции

} // вычисления k3

f (ya, k3, xi + h / 2.); // Вычислим f(xi,yi) = k3 / h

for (j = 0; j < n; j++)

{

k3[j] *= h; // Вычислим наконец-то k3

ya[j] = y0[i*n+j] + k3[j]; // И один из аргументов для функции

} // вычисления k4

f (ya, k4, xi + h); // Вычислим f(xi,yi) = k4 / h

for (j = 0; j < n; j++) k4[j] *= h; // Вычислим наконец-то k4

// Надо вычислить приращение каждой функции из n

for (j = 0; j < n; j++) // Вычисляем следующее значение

// функции

// Y[i+1] = Yi + ...

y0[(i+1)*n+j] = y0[i*n+j] + (k1[j] + 2. * k2[j] + 2 * k3[j] + k4[j]) / 6.;

// И новое значение q[i+1]

f (&y0[(i+1)*n], &q0[(i+1)*n], xi); // qi = f (xi, yi);

for (j = 0; j < n; j++) q0[((i+1)*n)+j] *= h;

xi += h; // Следующий шаг }

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// - Метод Адамса - //

///////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Итак, вычислены 4 первых значения. Этого достаточно для начала метода

// Адамса для шага h.

// B y0...y3 лежат 4 значения функций (_НЕ_ПРОИЗВОДНЫХ!!!).

// A в q0...q3 лежат значения _производных_ этих функций, умноженных на h

// q0..q3, а также y0..y3 представляют собой очереди с 4 элементами

again: // Вычисляем новое значение функции Yi (Это Y[i+1])

for (j = 0; j < n; j++)

{ // Все приращения

dq2 = q3[j] - q2[j]; dq1 = q2[j] - q1[j]; dq0 = q1[j] - q0[j];

d2q1 = dq2 - dq1; d2q0 = dq1 - dq0;

d3q0 = d2q1 - d2q0;

// новое значение функции (в ya пока что)

ya[j] = y3[j] + (q3[j] + (dq2 / 2.) + (5. * d2q1 / 12.) + (3. * d3q0 / 8.));

// Сдвигаем все массивы на 1 вперёд и добавляем в очередь новое

// значение функции

y0[j] = y1[j]; y1[j] = y2[j]; y2[j] = y3[j]; y3[j] = ya[j];

// Просто сдвигаем q, ничего пока что не добавляя

q0[j] = q1[j]; q1[j] = q2[j]; q2[j] = q3[j];

}

// В очередь в качестве q3 ложим новое значение

f (y3, q3, xi); // q3 = f (xi, y3);

for (j = 0; j < n; j++) q3[j] *= h; // Вычислить q3

// Очередное значение функции вычислено. Следующиий шаг

xi += h;

// Продолжить интегрирование?

if (xi < tk) goto again; // Да.

// Если первый раз здесь, то просчитать ещё раз с шагом h/2

if (flag == 0)

flag = 1; // Сравнивать уже будет с чем

else

{

// Не первый раз - оценить погрешность

// Сейчас в y3 - значение только что вычисленной функции ,

// а в y2 - занчение функции, вычисленной с шагом h * 2

// по отношению к текущему

for (j = 0; j < n; j++)

{ eps2 = fabs (((y3[j] - y2[j]) / y2[j]));

if (eps2 > eps) break; // Если погрешность слишком великА

}

if (j == n) // Если всё ОК

{ // Копируем результат

for (j = 0; j < n; j++) y[j] = y3[j];

free (k1); // Освобождаем память

return; // Возвращаемся в main

}

// По каким-то причинам выхода из функции не произошло -

// тогда уменьшаем шаг в 2 раза и повторяем

// всё, начиная с метода Рунге-Кутта

h /= 2.; // Уменьшить шаг

goto start; // Повторить расчёт сначала, с новыми параметрами

}

int main ()

{

double y[3], xs, xe;

int i;

y[0] = 1.; y[1] = 0.1; y[2] = 0.; // Начальные условия

xs = .0; xe = .1; // Начало интегрирования

printf ("x = %5.3lg, y(%4.2lg) = %10.3lg\n", xs, xs, y[0]);

for (i = 0; i < 20; i++)

{

Adams (func, y, 3, xs, xe, 10, 1.e-3);

xs += 0.1; xe += 0.1;

printf ("x = %5.3lg, y(%4.2lg) = %10.3lg\n", xs, xs, y[0]);

}

return 0;

}

Результат решения задачи 17 на ЭВМ

Для работы программу необходимо скомпилировать в модели не ниже SMALL. Использовался компилятор Micro$oft C 6.00 из одноимённого пакета. После запуска программа выводит следующее:

Программа численного интегрирования системы дифференциальных

уравнений экстраполяционным методом Адамса

Разработчик: студент гр. ПС-146

Нечаев Леонид Владимирович

17.03.2004

Дифференциальное уравнение имеет вид y''' + 2y'' + 3y' + y = x^2 + 5

Итак, зависимость y[x]:

x = 0, y( 0) = 1

x = 0.1, y(0.1) = 1.01

x = 0.2, y(0.2) = 1.02

x = 0.3, y(0.3) = 1.04

x = 0.4, y(0.4) = 1.07

x = 0.5, y(0.5) = 1.11

x = 0.6, y(0.6) = 1.16

x = 0.7, y(0.7) = 1.22

x = 0.8, y(0.8) = 1.28

x = 0.9, y(0.9) = 1.37

x = 1, y( 1) = 1.46

x = 1.1, y(1.1) = 1.56

x = 1.2, y(1.2) = 1.67

x = 1.3, y(1.3) = 1.79

x = 1.4, y(1.4) = 1.92

x = 1.5, y(1.5) = 2.06

x = 1.6, y(1.6) = 2.21

x = 1.7, y(1.7) = 2.36

x = 1.8, y(1.8) = 2.52

x = 1.9, y(1.9) = 2.69

x = 2, y( 2) = 2.86

Вывод:

Проверяем решение в программе Mathematica 4.2. Результаты, полученные с точностью до 2 знаков после запятой не отличаются от полученных. Задача решена верно.

Программа для решения задачи 30.
Условие задачи 30.

Разработать программу аппроксимации функции методом наименьших квадратов для модели по таблице результатов эксперимента:

X1	X2	Y
1	1	0
-1	-1	-2
2	2	-2
3	-2	29
-2	4	54

Решение задачи по методу наименьших квадратов

Рассчитываемая модель линейна относительно своих коэффициентов ai. Задана матрицы и , а также функция для получения матрицы F. F - Специальная матрица, которая вычисляется по алгоритму, приведённому ниже. Функция представляет собой мою собственную разработку, но вполне возможно её вводить вручную. Алгоритм составления матрицы F (учитывая разложение ):

, где - функции из модели y, а .- n-й элемент матрицы .

Исходя из этих формул строится функция f (смотри листинг программы 30.c).

Далее, по формуле находится матрица с коэффициентами ai и выводится на экран.

Блок-схема функции main из программы 30.c

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Систем управления

Челябинск, 2004

Блок-схема функции MMinor из программы 30.c

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Систем управления

Челябинск, 2004

Блок-схема функции MatrixMultiply из программы 30.c

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Систем управления

Челябинск, 2004

Блок-схема функции Determinant из программы 30.c

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Систем управления

Челябинск, 2004

Листинг программы 30.c
// Задача 30. Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

// Включаемые файлы

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <dos.h>

#include <stdlib.h>

// -------------- Описание начальных значений ------------------

// Дано (Размеры матриц - (1 х высота):

// xm - это матрицы-столбецы независимых переменных

// xm = (x1, x2, ... xN)T высотой xr

// Вектор наблюдений. ym - его матрица:

// ym = (y1, y2, ..., yM)T высотой yr

// А также описания функций при коэффициентах a1, a2, ..., aK

// 1. Матрицы с элементами типа double

// - Количество элементов в столбцевых маритцах xm и ym

#define xr 2

#define yr 5

// - Данные значения х

static double xm1[xr] = {1, 1};

static double xm2[xr] = {-1, -1};

static double xm3[xr] = {2, 2};

static double xm4[xr] = {3, -2};

static double xm5[xr] = {-2, 4};

// - Массив указателей на эти значения

static double *xmp[yr] = {xm1, xm2, xm3, xm4, xm5};

// - Матрица со значениями функции

static double ym[yr] = {0, -2, -2, 29, 54};

// 2. Функции из модели

// - сколько их

#define n 3

// И собственно сами функции, записываются как тело Си-функции

double f(double xm[xr], int path)

// - какие именно (n штук путей, выбирается параметром path)

{

switch (path)

{

// Функция 1

case 1:

return xm[0]; // x1

// Функция 2

case 2:

return xm[1]*xm[1]; // x2^2

// Функция 3

case 3:

return xm[0]*xm[1]; // x1*x2

}

printf ("\nНеправильная функция\n");

abort ();

}

// Ну и модель соответственно получилась: y = a1 * x1 + a2 * x2^2 + a3 * x1 * x2

char txtmodel[] = "y = a1x1 + a2x2^2 + a3x1x2";

// Короче, n = K, xr = N, yr = M (!) ;-)

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

// =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-= Функции и подпрограммы =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Печать матрицы m. Размеры (x * y)

void mprint (double *m, int x, int y)

{

int i, j; // Индексы для прохода

for (j = 0; j < y; j++) // По строкам

{

for (i = 0; i < x; i++) // По элементам строки

{ // Элемент

printf ("%8.4lg ", *(m + (j * x + i)));

}

printf ("\n"); // CR/LF

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Перемножение матриц m1 (размер - rows1 * cols1) и m2 (размер - cols1 * cols2)

// Результат помещается в result

void MatrixMultiply (double *m1, int rows1, int cols1, double *m2, int cols2, double *result)

{

int i, j, k;

// Получится матрица высотой rows1 и длиной cols2

for (j = 0; j < rows1; j++) // Проход по высоте

{

for (i = 0; i < cols2; i++) // Проход по длине

{

// Очистка элемента

*(result + (cols2 * j + i)) = 0;

for (k = 0; k < cols1; k++) // Проход по элементам

// строки первой матрицы

// Вычисление очередного элемента результата

*(result + (cols2 * j + i)) +=

*(m1 + (cols1 * j + k)) * (*(m2 + (cols2 * k + i)));

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Вычисляет минор матрицы m, полученный вычёркиванием элемента (xel; yel)

// и ложит его в res

void MMinor (double *m, double *res, int siz, int xel, int yel)

{

int i, j, ki = 0, kj = 0; // Исходное состояние

for (j = 0; j < (siz - 1); j++) // Проходим по строкам матрицы res

{

if (j == yel) kj = 1; // Пропустить текущую строку

for (i = 0; i < (siz - 1); i++)// Проходим по столбцам матрицы res

{

if (i == xel) ki = 1; // Пропустить текущий столбец

*(res + j * (siz - 1) + i) = *(m + (j+kj) * siz + (i+ki));

}

ki = 0; // Для следующей строчки (yel строку уже пропустили)

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Вычисление определителя матрицы m размером (dim * dim)

// (Рекурсивная функция)

double Determinant (double *m, int dim)

{

// Все переменные - ОБЯЗАТЕЛЬНО ЛОКАЛЬНЫЕ!!!

double d = 0, k = 1; // Определитель и флажок

int ki, kj, di, dj, i; // Коэффициенты, индексы, смещения

double *mm; // Новая матрица с вычеркнутой строкой и столбцом

if (dim < 1) { printf ("\nНеправильные аргументы"); abort (); }

if (dim == 1) return *m; // Если матрица 1х1

// Выделяем память для минора

if ((mm = malloc ((dim - 1) * (dim - 1) * sizeof (double))) == 0)

{ printf ("\nОшибка распределения памяти\n"); abort (); }

// Если матрица 2х2

if (dim == 2) d = ((*m) * (*(m + 3)) - (*(m + 2) * (*(m + 1))));

else // Размер больше чем 2

// Раскладываем матрицу по нулевой строке

for (i = 0; i < dim; i++)

{

MMinor (m, mm, dim, i, 0); // Вычеркнем столбец и

// строку в матрицк

d += k * (*(m + i)) * Determinant (mm, (dim - 1));

k = 0 - k;

}

free (mm); // Освободить память под минор

return d; // Вернуть значение определителя

}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

// Основная часть програмыы

int main (void)

{

// Аппроксимация функции для модели y

double *F; // Специальная матрица F n*y

double *TF; // Транспонированная F y*n

double *REV; // Обратная матрица n*n

double *TMP; // Временная матрица n*n

double *AC2; // Алгебраические дополнения (n-1)*(n-1)

double dt; // Значение определителя матрицы

double flag; // Флажок для обратной матрицы

int i, j; // Индексы

// Представим программу пользователю :)

printf ("\nПрограмма аппроксимации функции методом наименьших квадратов для"

" модели\n %s"

"\nпо заданной таблице эксперимента."

"\n\n Разработчик: студент группы ПС-146"

"\n Нечаев Леонид Владимирович"

"\n 25.02.2004"

, txtmodel);

printf ("\nИзвестны результаты наблюдений:"

"\n x1 x2 y");

for (i = 0; i < yr; i++)

printf ("\n%10.4lg%8.4lg%8.4lg", *(xmp[i]), *(xmp[i] + 1), ym[i]);

printf ("\nНачинаем аппроксимацию...\n");

// Требуется посчитать am. Так:

// am - это матрица-столбец искомых коэффициентов. Представляет из себя

// am = (a1, a2, ..., aK)T высотой n, а считается так:

// am = Inverse[Transpose[F].F].Transpose[F].ym, где

// F - мартица, составленная специальным образом (смотри ниже):

// Выделяем памяти сразу на все матрицы - F, TF, REV, TMP, AC2

#define memneed (((n * yr) + (yr * n) + (n * n) + (n * n) + ((n-1) * (n-1))) * eof (double))

if ((F = malloc (memneed)) == 0)

{

printf ("\nОшибка распределения памяти. Замените компьютер");

abort(); // Если не удалось выделить для неё память

}

TF = F + (n * yr);

REV = TF + (yr * n);

TMP = REV + (n * n);

AC2 = TMP + (n * n);

// Заполнение значениями матрицы F

for (j = 0; j < yr; j++) // Цикл по строкам F

{

for (i = 0; i < n; i++) // И по столбцам F

{

// Заполняем j-й строка значениями функций fi

*(F + (j * n + i)) = f (xmp[j], (i + 1));

}

// Матрица F готова. Надо вычислить по формуле:

// am = Inverse[Transpose[F].F].Transpose[F].ym значение

// коэффициентов a1, a2, a3, ...

// Транспонируем F

for (j = 0; j < n; j++) // Цикл по строкам TF

{

for (i = 0; i < yr; i++) // И по её столбцам

{

*(TF + (j * yr + i)) = *(F + (i * n + j));

}

// Считаем TMP = TF * F

MatrixMultiply (TF, n, yr, F, n, TMP);

// Далее считаем оперделитель от TMP

if ((dt = Determinant (TMP, n)) == 0)

{

printf ("\nТак, как определитель матрицы TF*F равен 0,\n"

"невозможно посчитать обратную к ним матрицу\n");

free (F); abort();

}

// Составляем обратную матрицу.

for (j = 0; j < n; j++)

{

for (i = 0; i < n; i++)

{

// Берём Минор элемента ij

MMinor (TMP, AC2, n, i, j);

// Знак элемента

flag = ((i + j) % 2 == 0) ? 1. : -1.;

// Сразу транспонирование

*(REV + (i * n) + j) = flag * Determinant (AC2, (n - 1)) / dt;

}

// Умножаем обратную матрицу на транспонированную к F

// т.е. Inverse (TF*F) * TF

// Такая матрица будет размера yr*n, поэтому вполне хватит памяти для F

MatrixMultiply (REV, n, n, TF, yr, F);

// И, наконец, всё это умножаем на матрицу Y и получаем искомые

// коэффициенты a1, a2, ... aN

// Для такой матрицы (размером 1*n) вполне хватит памяти под REV

MatrixMultiply (F, n, yr, ym, 1, REV);

// Всё, печатаем ответ

printf ("\nВычисления успешны, получен следующие коэффициенты:");

for (i = 0; i < n; i++)

printf ("\na%d = %lg", i, *(REV + i));

// Освободить память

free (F);

printf ("\nНажмите any key");

getch ();

printf ("\nDone.\n");

return 0;

}

Результат решения задачи 30 на ЭВМ

После запуска программа сразу же начинает расчёт коэффициентов. На экран выводится следующее:

Программа аппроксимации функции методом наименьших квадратов для модели

y = a1x1 + a2x2^2 + a3x1x2

по заданной таблице эксперимента.

Разработчик: студент группы ПС-146

Нечаев Леонид Владимирович

25.02.2004

Известны результаты наблюдений:

x1 x2 y

1 1 0

-1 -1 -2

2 2 -2

3 -2 29

-2 4 54

Начинаем аппроксимацию...

Вычисления успешны, получены следующие коэффициенты:

a0 = 1

a1 = 2

a2 = -3

Нажмите any key

Done.

Результат верен, так как при подстановке переменных в модель получается верное равенство:

0 = 1 * 1 + 2 * 1 - 3 * 1 * 1

-2 = 1 * (-1) + 2 * (-1) - 3 * (-1) * (-1)

-2 = 1 * 2 + 2 * 2 - 3 * 2 * 2

29 = 1 * 3 + 2 * (-2) - 3 * 3 * (-2)

54 = 1 * (-2) + 2 * 4 - 3 * (-2) * 4

Вывод:
Задача решена верно.