БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших направлений и экономико-математических исследований, должно служить объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры. ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ). Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ). Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе. Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере хk. Таблица 1 Реферат: Балансовая модель

№ потребление итого на конечный валовый отрас. внутре продукт выпуск производ. ( уi ) ( хi ) № 1 2 . k . n потребление отрас. ( å хik ) 1 х11 х12 . х1k . х1n å х1k у1 х1 2 х21 х22 . х2k . х2n å х2k у2 х2 . . . . . . . . . . i хi1 xi2 . xik . xin å xik y i xi

. . . . . . . . . .

n xn1 xn2 . xnk . xnn å xnk yn xn

итого произв. затраты å хi1 å xi2 . å xik . å xin в k-ю отрасль Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны следующими балансовыми равенствами : х1 - ( х11 + х12 + . + х1n ) = у1 х2 - ( х21 + х22 + . + х2n ) = у2 ( 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn - ( xn1 + xn2 + . + xnn ) = yn Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период. Будем снабжать штрихом ( х’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные, связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде. Будем называть совокупность значений y1 , y2 , . , y n , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором : _ у = ( у1 , у2 , . , yn ) , ( 2 ) а совокупность значений x1 , x2 , . , xn ,определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом : _ x = ( x1 , x2 , . , xn ). ( 3 ) Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою очередь зависят от x k. Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из соотношений : xik aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , . , n ). xk Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что x’ik xik ––– = ––– = aik = const ( 4 ) x’k xk Исходя из этого предложения имеем xik = aikxk , ( 5 ) т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат. Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу a11 a12 . a1k . a1n a21 a22 . a2k . a2n A= ........ ai1 ai2 . aik . ain an1 an2 . ank . ann которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной. Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1 Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель : x1 - ( a11x1 + a12x2 + . + a1nxn ) = y1 x2 - ( a21x1 + a22x2 + . + a2nxn ) = y2 ( 6 ) .............. xn - ( an1x1 + an2x2 + . + annxn ) = yn , характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1 Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений: _ _ _ Е·х - А·х = У , или окончательно _ _ ( Е - А )·х = У , ( 6' ) где Е – единичная матрица n-го порядка и 1-a11 -a12 . -a1n E - A= -a21 1-a22 . -a2n ....... -an1 -an2 . 1-ann Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных. Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y 2 , . , yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 , х2 , . хn ). Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей: табл.2

№ отрас Потребление Итого Конечный Валовый № затрат продукт выпуск отрас 1 2 0.2 0.4 1 100 160 260 240 500

0.55 0.1 2 275 40 315 85 400

Итого затрат 575 в k-ю 375 200 отрасль . 575

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2 Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат: 100 160 275 40 а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = –––– = 0.1 500 400 500 400 Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток. Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2 х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1 х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2 Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у 2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д. Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1 =500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д. РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ. Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ). Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением. Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя. Так, например, если 0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6' ) А= , то Е - А = 0.6 0.9 -0.6 0.1 запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или в развернутой форме -0.6 0.1 х2 у2 0.1х1 - 0.8х2 = у1 ( a ) -0.6х1 + 0.1х2 = у2 Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение -0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2, которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ). Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ). Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос. Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение. При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной. Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу. Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде _ _ х = S·У ( 7 ) Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х . Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме: x1 = S11y1 + S12y2 + . + S1nyn x2 = S21y1 + S22y2 + . + S2nyn ( 8 ) ............ xn = Sn1y1 + Sn2y2 + . + Snnyn ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАТРАТЫ. Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S. Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е. 1 _ 0 У1 = : 0 Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим 1 S11 _ 0 S21 _ х = S : = : = S1 0 Sn1 0 _ 1 задавшись ассортиментным вектором У2 = 0 , получим : 0 0 S12 _ 1 S22 _ х = S : = : = S2 0 Sn2 Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит 0 S1k _ : S2k _ х = S 1 = : = Sk , ( 9 ) : Snk 0 т.е. k-й столбец матрицы S. Из равенства ( 9 ) вытекает следующее: Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2 =S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции. Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, ., Sik, ., S nk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k , a2k, ., aik, ., ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве a ik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( a i1, ai2, . и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2 Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х 2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1. Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1 '=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 ( см п.2 ): 0.8х1 - 0.4х2 = 0 -0.55х1 + 0.9х2 = 1 Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12 =0.8-0.4=0.4 Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта. Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты. Очевидно, что всегда Sik > aik. Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ): x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, ., xn = Snk·yk , что можно записать короче в виде: _ _ x = Sk·yk ( 10 ) Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент- _ у1 ным вектором У = : , то валовый выпуск k-й отрасли x k, необходимый для его уn обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е. _ _ xk = Sk1y1 + Sk2y2 + . + Sknyn = Sk·y , ( 11 ) а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У. Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У . Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = ( Dх1, Dх 2, ., Dхn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = ( Dу1, Dу2, ., Dуn ) по формуле: _ _ Dх = S·DУ , ( 12 ) Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат: 0.2 0.4 А = 0.55 0.1 Следовательно, 1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4 Е - А = = -0.55 1 -0.1 -0.55 0.9 Определитель этой матрицы 0.8 -0.4 D [ E - A ] = = 0.5 -0.55 0.9 Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем: 0.9 0.4 ( Е - А )* = , 0.55 0.8 откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей: 1 0.9 0.4 1.8 0.8 S = ( Е - А )-1 = ––– = 0.5 0.55 0.8 1.1 1.6 Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S 11=0.8 и S21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а11 =0.2 и а21=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55. Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5. Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей. Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства ( 7 ): х2 _ _ 1.8 0.8 480 1000 х = S·У = · = 1.1 1.6 170 800 . ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д. Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik , затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки. Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k ( где k = 1, 2, ., n ). Подобно тому как вводились прямые затраты aik, xn+1,k введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = ––––– , и xk xn+2,k капиталовложений an+2,k = ––––– , представляющих собой расход соответствующего xk ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат: a11 a12 . a1k . a1n a21 a22 . a2k . a2n основная часть матрицы ............. А' = ai1 ai2 . aik . ain ............. an1 an2 . ank . ann an+1,1 an+1,2 . an+1,k . an+1,n an+2,1 an+2,2 . an+2,k . an+2,n дополнительные строки При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки. Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е. _ 1 У = 0 : 0 . Для этого требуется валовый выпуск продукции S11 _ _ S21 x = S1 = : Sn1 Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12 , ., S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят: _ _ Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + . + an+1,nSn1 = an+1S1 , т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А' , которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S. Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят: _ _ Sn+1,k = an+1Sk ( 13 ) Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений: _ _ Sn+2,k = an+2Sk ( 14 ) Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов S n+1,k и Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат: S11 S12 . S1k . S1n матрица коэффициентов S21 S22 . S2k . S2n полных внутрипроизводст. ............. затрат S' = Si1 Si2 . Sik . Sin ............. ( 15 ) Sn1 Sn2 . Snk . Snn Sn+1,1 Sn+1,2 . Sn+1,k . Sn+1,n дополнительные строки Sn+2,1 Sn+2,2 . Sn+2,k . Sn+2,n Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У. Очевидно, xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + . + Sn+1,nyn , ( 16 ) xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + . + Sn+2,nyn , т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У. Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме: x1 x2 _ : _ x = xn = S'У ( 17 ) xn+1 xn+2 Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3 Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу: 0.2 0.4 А' = 0.55 0.1 0.5 0.2 1.5 2.0 Таблица 3 Реферат: Балансовая модель

№ отраслей потребление итого конечный валовый № затрат продукт выпуск отраслей 1 2

1 100 160 260 240 500

2 275 40 315 85 400 труд 250 80 330

капиталовложе- 750 800 1550 ния

Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте. На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( Sn+1,k=S3,k ): _ _ S31 = a3·S1 = 0.5 · 1.8 + 0.2 · 1.1 = 1.12 ; _ _ S32 = a3·S2 = 0.5 · 0.8 + 0.2 · 1.6 = 0.72 и капиталовложений Sn+2,k = S4,k: _ _ S41 = a4·S1 = 1.5 · 1.8 + 2.0 · 1.1 = 4.9 ; _ _ S42 = a4·S2 = 1.5 · 0.8 + 2.0 · 1.6 = 4.4 . Таким образом, расширенная матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид: 1.8 0.8 S' = 1.1 1.6 1.12 0.72 4.9 4.4 Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и 85 капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = x n = 4.9 · 240 + 4.4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3. Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям ( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374. При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ). Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда 170 _ х1 1.8 0.8 1000 х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800 х3 1.12 0.72 170 600 х4 4.9 4.4 3100 Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х 2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб. Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях. Задача В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч. Таблица

Нормы расхода Обозначения Стоимость I II III

Сырье I 1.4 2.4 0.8 a4 5 Сырье II – 0.6 1.6 a5 12 Сырье III 2.0 1.8 2.2 a6 2

Трудоемкость 10 20 20 а7 12

Определить: а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы; б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха; в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам; г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода; д) производственные затраты на единицу конечной продукции. Решение: а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е. _ _ 235 а4х = ( 1.4; 2.4; 0.8 ) 186 = 1088 397 Аналогично можно получить расход сырья II и т.д. Все это удобно записать в виде произведения: 1.4 2.4 0.8 235 1088 Сырье I 0 0.6 1.6 186 = 746 Сырье II 2.0 1.8 2.2 397 1678 Топливо 0.1 0.2 0.2 1409 Человеко-часов. б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем из выражения 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы: I II III 1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92 1.36 Сырье I 0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17 0.84 2.09 Сырье II 2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53 2.60 5.23 Топливо 10 20 20 15.2 24.8 28.0 Труд Таким образом, например, для изготовления у1=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч. в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов: I II III Сырье I 330 440 318 Сырье II 0 111 635 Топливо 470 335 873 Труд 2350 3720 7940 г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу: 330 440 318 0 111 635 I II III ( 5; 12; 2; 1.2 ) 470 335 873 = ( 5410; 8666; 20484 ) 2350 3720 7940 д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен: 1.97 2.92 1.36 0.17 0.84 2.09 I II III ( 5; 12; 2; 1.2 ) 2.53 2.60 5.23 = ( 35.3; 59.6; 75.7 ) 15.2 24.8 28.0 Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6 руб., 75.7 руб.